[论文解读] Bubble tree of a class of conformal mappings and applications to Willmore functional

Jingyi Chen, Yuxiang Li|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文为具有退化共形结构的闭黎曼曲面的 $W^{2,2}$ 分枝共形浸入建立了气泡树紧致性理论，证明了在无测度损失或颈部形成的情况下收敛。该理论被应用于证明在紧致黎曼流形中存在 Willmore 型曲面，包括在面积约束下的 Willmore 泛函最小化器以及在 Douglas 型条件下光滑的最小化器。

ABSTRACT

We develop a bubble tree construction and prove compactness results for $W^{2,2}$ branched conformal immersions of closed Riemann surfaces, with varying conformal structures whose limit may degenerate, in a compact Riemannian manifold with uniformly bounded areas and Willmore energies. The compactness property is applied to construct Willmore type surfaces in compact Riemannian manifolds. This includes (a) existence of a Willmore 2-sphere in ${\mathbb S}^n$ with at least 2 nonremovable singular points (b) existence of minimizers of the Willmore functional with prescribed area in a compact manifold $N$ provided (i) the area is small when genus is 0 and (ii) the area is close to that of the area minimizing surface of Schoen-Yau and Sacks-Uhlenbeck in the homotopy class of an incompressible map from a surface of positive genus to $N$ and $π_2(N)$ is trivial (c) existence of smooth minimizers of the Willmore functional if a Douglas type condition is satisfied.

研究动机与目标

• 为具有变化的、可能退化的共形结构的闭黎曼曲面的 $W^{2,2}$ 分枝共形浸入建立气泡树紧致性框架。
• 证明具有一致有界 Willmore 能量和面积的此类浸入在 Hausdorff 距离下收敛，且无测度损失或颈部形成。
• 将紧致性结果应用于构造紧致黎曼流形中的 Willmore 型曲面，包括在面积约束下的最小化器和在 Douglas 型条件下光滑的最小化器。
• 将分析扩展到共形类收敛至模空间边界的情况，允许极限中出现拓扑变化。
• 证明此类序列的极限是由极限曲面各分量的共形映射和有限个 2-球面组成的气泡树结构。

提出的方法

• 通过从退化共形结构的正则部分到极限曲面的微分同胚，将浸入拉回到极限曲面，从而构造气泡树。
• 利用曲率项 $K_f e^{2u}$ 的补偿紧致性，控制共形因子 $u$ 的 $L^∞$ 范数，从而获得 $W^{2,2}$ 估计。
• 应用 Wente 不等式和调和延拓技术，证明在共形坐标下共形因子 $u$ 的连续性。
• 分析气泡点和束带处的能量集中，通过能量集中和测度保持性证明无颈部形成。
• 利用 Rellich-Kondrachov 嵌入定理，推导出在能量集中点之外的 $C^{\alpha}$ 序列收敛性（$0 < \alpha < 1$）。
• 证明极限是由极限曲面各分量的分枝共形浸入和有限个 2-球面组成的并集，形成气泡树结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当共形结构在模空间中退化时，是否可以为 $W^{2,2}$ 分枝共形浸入序列建立紧致性？
• RQ2 气泡树构造是否能防止此类序列极限中出现测度损失和颈部形成？
• RQ3 是否可以利用紧致性结果证明在紧致黎曼流形中面积约束下 Willmore 泛函最小化器的存在性？
• RQ4 在何种条件下 Willmore 泛函可通过光滑的 $W^{2,2}$ 分枝共形浸入实现下确界？
• RQ5 当共形结构收敛至模空间边界时，极限曲面的拓扑结构是什么？

主要发现

• 具有统一有界 Willmore 能量和面积的 $W^{2,2}$ 分枝共形浸入序列的极限是一个气泡树，由极限曲面各分量的共形映射和有限个 2-球面组成，且无颈部形成。
• 极限中无测度损失：气泡树的总面积等于原始浸入面积的极限。
• 当指定面积较小时，在紧致黎曼流形 $N$ 中，对于亏格为 0 的曲面，Willmore 泛函的最小化器存在。
• 对于正亏格曲面，当面积接近同伦类中面积最小曲面的面积时，若 $\pi_2(N)$ 平凡，则最小化器存在。
• 若满足 Douglas 型条件，则 Willmore 泛函的光滑最小化器存在，该条件确保了最小化器的紧致性和正则性。
• 通过 Wente 不等式和调和延拓论证，证明了 $W^{2,2}_{\text{conf}}$ 浸入的共形因子 $u$ 是连续的。