[论文解读] Bulging deformations of convex $RP^2$-manifolds

William M. Goldman|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文引入了凸 $\mathbb{R}P^2$-流形的鼓胀形变——通过使用与实测测地线 lamination 相关的 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$ 的一维子群，推广了Thurston的地震形变与震弯形变。关键贡献是构建了一种通过Weyl房值横截测度来形变凸区域边界的方法，将Teichmüller理论推广至具有负欧拉示性数的曲面上的 $\mathbb{R}P^2$-结构。

ABSTRACT

We define deformations of $RP^2$-manifolds.

研究动机与目标

• 将Thurston的地震形变从双曲曲面推广至凸 $\mathbb{R}P^2$-流形，通过 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$-作用构造类似形变。
• 基于取值于 $\mathfrak{sl}(3,\mathbb{R})$ 的Cartan子代数的Weyl房的实测测地线 lamination，定义一种形变程序。
• 通过 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$ 的一维子群，将 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 中的震弯形变推广至 $\mathbb{R}P^2$ 设置。
• 描述此类形变如何作用于凸区域 $\Omega$ 的边界，特别是当 $\partial\Omega$ 为 $C^1$ 但非 $C^2$ 时。
• 建立一个理解具有 $\chi(S) < 0$ 的曲面上凸 $\mathbb{R}P^2$-结构形变空间的框架。

提出的方法

• 通过将一维子群 $H_t = \exp(a(t,0)) = \mathrm{diag}(e^t, 1, e^{-t})$ 作用于测地线 lamination 叶片两侧的坐标来构造形变。
• 横截测度取值于Weyl房 $\{a(s,t) \mid s \geq t \geq -\frac{1}{2}s\}$，对应于正根 $\alpha_{12}, \alpha_{23}$。
• $H_t$ 在 $\mathbb{R}P^2$ 上的作用生成圆锥弧，如图2所示，这些弧用于形变边界 $\partial\Omega$。
• 该构造可推广至分段圆锥曲线，形变通过沿 lamination 累积鼓胀数据定义（见图5）。
• 形变过程保持 $\Omega$ 的凸性，并在 $\mathbb{R}P^2$-结构空间上诱导出连续作用。
• 该方法依赖于 $\mathfrak{sl}(3,\mathbb{R})$ 的李代数结构，特别是根系与Weyl群，以定义形变空间的参数化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Thurston的地震形变推广至具有 $\chi(S) < 0$ 的曲面上的 $\mathbb{R}P^2$-结构？
• RQ2 取值于 $\mathfrak{sl}(3,\mathbb{R})$ 的Weyl房的实测测地线 lamination 在形变凸 $\mathbb{R}P^2$-流形中起什么作用？
• RQ3 如何通过 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$ 的一维子群作用于凸区域 $\Omega$ 的边界，以产生鼓胀形变？
• RQ4 这些形变以何种方式保持或改变 $\partial\Omega$ 的正则性，特别是当其为 $C^1$ 但非 $C^2$ 时？
• RQ5 能否通过此类鼓胀数据，类似Teichmüller空间的参数化方式，对凸 $\mathbb{R}P^2$-结构的形变空间进行参数化？

主要发现

• 通过一维子群 $H_t = \mathrm{diag}(e^t, 1, e^{-t})$ 作用于测地线 lamination 叶片两侧，构造了鼓胀形变。
• 形变的横截测度取值于Weyl房 $\{a(s,t) \mid s \geq t \geq -\frac{1}{2}s\}$，对应于正根 $\alpha_{12}$ 与 $\alpha_{23}$。
• $H_t$ 的作用生成与三角形相切的圆锥弧，如图2所示，这些弧用于形变边界 $\partial\Omega$。
• 当 $S$ 为双曲曲面时，鼓胀形变退化为Thurston的地震形变，且 $\partial\tilde{S}$ 保持不变。
• 凸 $\mathbb{R}P^2$-流形的边界 $\partial\Omega$ 为 $C^1$ 但非 $C^2$，其导数为Hölder连续，指数严格介于1与2之间。
• 通过 $\mathrm{SL}(3,\mathbb{R})$-作用于凸区域，该构造将 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 中的震弯形变推广至 $\mathbb{R}P^2$ 设置。