[论文解读] $C^0$ stability of boundary actions and inequivalent Anosov flows

Jonathan Bowden, Kathryn Mann|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用 8

一句话总结

本文建立了紧负曲率流形的基本群在理想边界球面上的边界作用的 $C^0$ 拓扑稳定性。利用粗几何与动力系统的技术，证明了任意接近的同胚群作用均与标准边界作用半共轭，并据此构造出具有任意多个拓扑不等价的Anosov流的双曲3-流形，从而解决了Kirby问题列表中的一个疑问。

ABSTRACT

We give a topological stability result for the action of the fundamental group of a compact manifold of negative curvature on its boundary at infinity: any nearby action of this group by homeomorphisms of the sphere is semi-conjugate to the standard boundary action. Using similar techniques we prove a global rigidity result for the "slithering actions" of 3-manifold groups that come from skew-Anosov flows. As applications, we construct hyperbolic 3-manifolds that admit arbitrarily many topologically inequivalent Anosov flows, answering a question from Kirby's problem list, and also give a more conceptual proof of a theorem of the second author on {\em global} $C^0$--rigidity of geometric surface group actions on the circle.

研究动机与目标

• 建立紧负曲率流形 $\pi_1M$ 在 $\partial_\infty\widetilde{M}$ 上的边界作用的拓扑稳定性。
• 证明由3-流形中斜Anosov流导出的滑动作用的全局刚性结果。
• 通过构造双曲3-流形，其中包含任意多个拓扑不等价的Anosov流，解决Kirby的问题。
• 为第二作者关于几何曲面群在圆上作用的 $C^0$-刚性定理提供一个概念性证明。
• 探讨拓扑稳定性向更广类别的双曲群以及具有边界或非黎曼度量的流形的推广。

提出的方法

• 使用 $\mathrm{Hom}(\pi_1M, \mathrm{Homeo}(S^{n-1}))$ 上的紧开拓扑来定义群作用的 $C^0$-接近性。
• 应用粗几何技术，特别是拟测地线与视觉边界性质，分析扰动作用的动力学。
• 采用半共轭映射将邻近作用与标准边界作用关联，确保拓扑因子分解。
• 利用斜Anosov流及其相关滑动作用的结构，在三维情形导出全局刚性。
• 利用德恩手术与接触Anosov流构造，在双曲3-流形上生成不等价的流。
• 依赖于原始边界作用无正则性假设，转而关注拓扑与动力稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧负曲率流形的基本群的边界作用在球面上是否对 $C^0$-扰动具有拓扑稳定性？
• RQ2 双曲3-流形是否允许任意多个拓扑不等价的Anosov流，从而回答Kirby的问题？
• RQ3 由3-流形中斜Anosov流导出的群滑动作用是否存在全局 $C^0$-刚性？
• RQ4 在更高正则性假设下，邻近作用之间的半共轭能否改进为共轭？
• RQ5 该拓扑稳定性结果能否推广至非黎曼设定下具有球面边界的一般双曲群？

主要发现

• $\pi_1M$ 在 $S^{n-1}$ 上的边界作用具有 $C^0$ 拓扑稳定性：所有足够接近的作用均与标准作用半共轭。
• 对 $\mathrm{Homeo}(S^{n-1})$ 中恒等元的任意邻域 $U$，存在 $\rho_0$ 的邻域 $V$，使得 $V$ 中所有作用均通过 $U$ 中的映射与 $\rho_0$ 半共轭，显示出强稳定性。
• 本文构造出具有任意多个拓扑不等价Anosov流的双曲3-流形，从而回答了Kirby的问题。
• 确立了3-流形群的滑动作用的全局刚性，扩展了关于曲面群作用的 $C^0$-刚性结果。
• 作者为几何曲面群在圆上作用的 $C^0$-刚性定理提供了新的概念性证明。
• 结果表明，即使在可能引入游荡区域的扰动下，$C^0$-稳定性依然稳健，凸显了拓扑因子分解的强大力量。