[论文解读] C*algebras and differential geometry

Alain Connes|ArXiv.org|Jan 15, 2001

Advanced Operator Algebra Research被引用 10

一句话总结

这篇1980年的开创性论文由阿兰·孔涅提出，利用C*-代数和李群作用，引入非交换几何的基础概念，建立了非交换环面上有限投影模上的联络、曲率与陈特征之间的联系。通过扩展的阿蒂亚-辛格指标定理，证明了总曲率的整数性，表明实直线上有限差分-微分算子的指标为整数值，该理论在无理旋转代数 $A_\theta$ 上具有应用。

ABSTRACT

This is the translation to appear in the "SUPERSYMMETRY 2000 - Encyclopaedic Dictionary" of the original paper, published in March 1980, (C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. A-B, 290, 1980) in which basic notions of noncommutative geometry were introduced and applied to noncommutative tori. These include connections on finite projective modules, their curvature, and the Chern character. Finite projective modules on the noncommutative two-torus $ \Tb^2_θ$ were realized as Schwartz spaces of vector valued functions on $\Rb$. Explicit constant curvature connections were constructed and a basic integrality phenomenon of the total curvature was displayed. The pseudo-differential calculus and the Atiyah-Singer index theorems were extended to Lie group actions on $C^*$ algebras and used to explain the above integrality of the total curvature by an index formula for finite difference-differential operators on the line. Recent interest in the hep-th literature for basic notions of noncommutative geometry in the case of noncommutative tori (cf for instance hep-th/0012145 for an excellent review) prompted us to make the English translation of the original paper available.

研究动机与目标

• 通过李群作用为C*-代数建立微分几何框架，推广联络与曲率等概念。
• 将阿蒂亚-辛格指标定理扩展至C*-动力系统，特别是涉及流与环面作用的交叉积。
• 建立从 $K_0(A)$ 到李群 $G$ 上左不变微分形式上同调的陈特征同态。
• 通过指标公式证明非交换环面 $T^2_\theta$ 上有限投影模的总曲率具有整数性。
• 将该理论应用于无理旋转代数 $A_\theta$，将其光滑模实现为施瓦茨空间，并计算有限差分-微分算子的指标。

提出的方法

• 通过李群 $G$ 作用下 $g \mapsto \alpha_g(x)$ 的光滑性，定义C*-代数 $A$ 中元素的 $C^\infty$ 类。
• 构造 $C^\infty$ 元素的稠密$*$-子代数 $A^\infty$，并将 $A^\infty$ 上的有限投影模实现为 $eA^\infty$ 上的模，其中 $e$ 为自伴幂等元。
• 将有限投影 $A^\infty$-模 $\Xi^\infty$ 上的联络 $\nabla$ 定义为映射到 $\Xi^\infty \otimes (\text{Lie } G)^*$ 的线性映射，满足对导子 $\delta_X$ 的莱布尼茨法则。
• 通过 $\langle \xi, \eta \rangle = F^{-1}(\eta)^* F^{-1}(\xi)$ 引入与联络相容的厄米结构，确保其相容性。
• 在模 $eA^\infty$ 上构造格拉斯曼联络 $\nabla_X^0(\xi) = e \delta_X(\xi)$，该联络与标准厄米形式相容。
• 通过双迹的定义并将其与陈特征及鲁埃勒-萨利纳斯循环联系，将阿蒂亚-辛格指标定理扩展至交叉积 $A \times_\alpha G$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将联络与曲率等微分几何概念推广至配备李群作用的非交换C*-代数？
• RQ2 在非交换设定中，$K$-理论与陈特征的作用是什么？如何将其映射到李群的上同调？
• RQ3 阿蒂亚-辛格指标定理如何扩展至$C^*$-动力系统，特别是针对 $\mathbb{R}^n$ 或 $T^2$ 作用的交叉积？
• RQ4 非交换环面 $T^2_\theta$ 上有限投影模的总曲率具有何种整数性？其如何通过指标公式解释？
• RQ5 如何将 $A_\theta$ 上向量丛的光滑截面实现为 $\mathbb{R}$ 上的施瓦茨函数？$A_\theta$ 在其上的作用是什么？

主要发现

• 非交换环面 $T^2_\theta$ 上有限投影模的光滑截面空间微分同胚于施瓦茨空间 $\mathcal{S}(\mathbb{R})$，且 $A_\theta^\infty$ 通过有限差分算子作用于其上。
• 通过算子 $D_1 f = \frac{d}{dt}f$ 与 $D_2 f = \frac{2\pi i t}{\theta}f$ 显式构造了 $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ 上的常曲率联络，得到曲率为 $1/\theta$。
• 该模的总曲率为 $2\pi$ 的整数倍，其整数性由有限差分-微分算子的指标公式解释。
• 在 $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ 上，有限差分-微分算子 $P$ 的指标为整数值，其显式公式为 $1 + E(1/\theta)$，适用于特定算子类。
• $A_\theta \times T^2$ 上的对偶迹 $\hat{\tau}$ 是紧算子代数 $\mathcal{K}$ 上的标准迹，且 $\hat{\tau} \circ \text{Ind}$ 为整数值，从而确认了整数性。
• 流的指标定理将 $\widehat{\tau} \circ \text{Ind}(D)$ 计算为配对 $\langle \text{ch}_\tau(\sigma_D), v \rangle$，其中 $v$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的体积形式，推广了经典指标公式。