[论文解读] C*-algebras of Toeplitz type associated with algebraic number fields

Joachim Cuntz, Christopher Deninger+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文引入了一个与数域中代数整数环 $ R $ 相关的 C*-代数 $\mathfrak{T}[R]$，该代数通过 $ ax+b $-半群 $ R\rtimes R^\times $ 的左正则表示构造而成。它建立了自然的一参数自同构群 $\sigma_t$，并完全刻画了 KMS 态的结构，证明了当 $ R $ 的类群非平凡时，尽管 KMS 单体在理想类上发生分裂，且配分函数为部分 Dedekind $\zeta$-函数，$\beta \in (1,2]$ 范围内的 $\beta$-KMS 态仍具有唯一性。

ABSTRACT

We associate with the ring $R$ of algebraic integers in a number field a C*-algebra $\cT[R]$. It is an extension of the ring C*-algebra $\cA[R]$ studied previously by the first named author in collaboration with X.Li. In contrast to $\cA[R]$, it is functorial under homomorphisms of rings. It can also be defined using the left regular representation of the $ax+b$-semigroup $R times R^ imes$ on $\ell^2 (R times R^ imes)$. The algebra $\cT[R]$ carries a natural one-parameter automorphism group $(σ_t)_{t\in\Rz}$. We determine its KMS-structure. The technical difficulties that we encounter are due to the presence of the class group in the case where $R$ is not a principal ideal domain. In that case, for a fixed large inverse temperature, the simplex of KMS-states splits over the class group. The "partition functions" are partial Dedekind $ζ$-functions. We prove a result characterizing the asymptotic behavior of quotients of such partial $ζ$-functions, which we then use to show uniqueness of the $β$-KMS state for each inverse temperature $β\in(1,2]$.

研究动机与目标

• 通过 $\ell^2(R\rtimes R^\times)$ 上 $ ax+b $-半群 $ R\rtimes R^\times $ 的左正则表示，构造 C*-代数 $\mathfrak{T}[R]$，推广环 C*-代数 $\mathfrak{A}[R]$。
• 在环同态下建立 $\mathfrak{T}[R]$ 的函子性，这一性质 $\mathfrak{A}[R]$ 并不满足。
• 分析 $\mathfrak{T}[R]$ 在自然一参数自同构群 $\sigma_t$ 下的 KMS 态结构，特别关注 $ R $ 具有非平凡类群的情形。
• 通过部分 Dedekind $\zeta$-函数的渐近分析，证明 $\beta \in (1,2]$ 范围内 $\beta$-KMS 态的唯一性。

提出的方法

• 将 $\mathfrak{T}[R]$ 定义为由单位元 $u^x$ 和等距算子 $s_a$ 生成的泛 C*-代数，满足关系 $s_a u^x = u^{ax} s_a$ 以及 $\sum_{x \in R/aR} u^x s_a s_a^* u^{-x} \leq 1$。
• 为处理非主理想整环情形，引入与理想 $I$ 相关的额外投影 $e_I$，以确保等距算子值投影之间的关系正确。
• 构造一个极大交换子代数，其 Gelfand 谱为 $Y_R$，其构造为非零理想 $I$ 上的 $\bigsqcup R/I$ 的完备化，且在环同态下呈反变性。
• 通过半群表示上的规范作用，定义 $\mathfrak{T}[R]$ 上的一参数自同构群 $\sigma_t$，类似于 Bost-Connes 系统。
• 使用部分 Dedekind $\zeta$-函数 $\zeta^{(n)}_\gamma(s)$ 作为 KMS 态的配分函数，其下标为理想类 $\gamma$。
• 应用分部求和法与数域中的素理想定理，推导 $\Omega_\gamma(x) = \sum_{N(P)\leq x, P\in\gamma} N(P)^{-\kappa}$ 的渐近展开，从而得出关键极限 $\lim_{n\to\infty} \zeta^{(n)}_\gamma(\sigma)/\zeta^{(n)}_\eta(\sigma) = 1$，对所有理想类 $\gamma, \eta$ 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从 $ ax+b $-半群 $ R\rtimes R^\times $ 构造一个在环同态下函子性的 C*-代数？
• RQ2 当 $ R $ 不是 PID 时，$\mathfrak{T}[R]$ 上自然一参数自同构群的 KMS 态结构是怎样的？
• RQ3 $ R $ 的类群如何影响 KMS 单体的分解？
• RQ4 与不同理想类相关的部分 Dedekind $\zeta$-函数的商的渐近行为如何？
• RQ5 在非 PID 情形下，$\beta \in (1,2]$ 范围内的 $\beta$-KMS 态是否唯一？

主要发现

• 由于在表示中包含了理想投影，C*-代数 $\mathfrak{T}[R]$ 在环同态下具有函子性，而环 C*-代数 $\mathfrak{A}[R]$ 并不满足此性质。
• 极大交换子代数的 Gelfand 谱 $Y_R$ 是 $\bigsqcup R/I$ 的完备化，且映射 $R \mapsto Y_R$ 在环包含下呈反变性。
• 对于 $\beta \in (1,2]$，$\mathfrak{T}[R]$ 上的 $\beta$-KMS 态是唯一的，即使 $ R $ 具有非平凡类群。
• 当 $\beta > 2$ 时，KMS 单体在类群上发生分裂，配分函数由部分 Dedekind $\zeta$-函数 $\zeta^{(n)}_\gamma(s)$ 给出。
• 对所有理想类 $\gamma, \eta$，渐近比 $\lim_{n\to\infty} \zeta^{(n)}_\gamma(\sigma)/\zeta^{(n)}_\eta(\sigma) = 1$ 成立，意味着归一化配分函数一致收敛。
• 证明依赖于一个关于固定理想类中素理想的素数定理，余项为 $ O(x/\log^2 x) $，并结合分部求和法，得出 $\Omega_\gamma(x) \sim \frac{1}{h} \frac{x^{1-\kappa}}{\log x} + \frac{\kappa}{h} \int_2^x \frac{t^{-\kappa}}{\log t} dt + O\left(\frac{x^{1-\kappa}}{\log^2 x}\right)$，其中 $\kappa < 1$。