[论文解读] $C^\ast$-simple groups without free subgroups

A. Yu. Olshanskii, Denis Osin|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 32被引用 8

一句话总结

该论文构造了首个已知的非平凡 $C^\ast$-单群，其不含非循环自由子群，证明了自由Burnside群 $B(m,n)$ 的约化 $C^\ast$-代数在 $m \geq 2$ 且 $n$ 为充分大的奇数时是单的且具有唯一迹。证明依赖于群表示中的谱半径估计以及拟双曲群的极限，解决了de la Harpe长期提出的关于在无自由子群条件下 $C^\ast$-单性的问题。

ABSTRACT

We construct first examples of non-trivial groups without non-cyclic free subgroups whose reduced $C^\ast$-algebra is simple and has unique trace. This answers a question of de la Harpe. Both torsion and torsion free examples are provided. In particular, we show that the reduced $C^\ast$-algebra of the free Burnside group $B(m,n)$ of rank $m\ge 2$ and any sufficiently large odd exponent $n$ is simple and has unique trace.

研究动机与目标

• 为解决de la Harpe提出的问题：是否存在不含非循环自由子群的非平凡 $C^\ast$-单群。
• 确立自由Burnside群 $B(m,n)$（其中 $m \geq 2$ 且 $n$ 为大奇数）的约化 $C^\ast$-代数的 $C^\ast$-单性及迹的唯一性。
• 将 $C^\ast$-单群的类扩展至不具有Powers性质或非循环自由子群的群。
• 证明 $C^\ast$-单性与唯一迹可在具有强挠或挠自由、非阿贝尔但非自由结构的群中出现。

提出的方法

• 利用谱半径趋于零的群序列，以控制左正则表示中群代数元素的范数。
• 在拟双曲群中应用小扰动和Dehn填充技术，构造具有所需 $C^\ast$-代数性质的极限群。
• 在van Kampen图中运用排斥部分和塔状结构，分析自由Burnside群中的字长与共轭增长。
• 通过酉共轭和谱半径估计建立范数衰减，从而在极限中使谱半径趋于零。
• 利用若共轭和的谱半径趋于零，则 $C^\ast_{\text{red}}(G)$ 为单群且具有唯一迹这一事实。
• 通过具有趋于零谱半径的群序列 $H_{g,i}$ 和集合 $T_{g,i}$，构造拟双曲群的 $C^\ast$-单极限群。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在不含非循环自由子群的非平凡 $C^\ast$-单群？
• RQ2 自由Burnside群 $B(m,n)$（秩 $m \geq 2$，且指数 $n$ 为充分大的奇数）是否为 $C^\ast$-单群？
• RQ3 是否可在不具有Powers性质或非循环自由子群的群中实现 $C^\ast$-单性与迹的唯一性？
• RQ4 是否存在不可数多个两两不同构的有限生成 $C^\ast$-单群，其不含非循环自由子群，且既包含挠群也包含挠自由群？
• RQ5 是否可仅通过群表示中谱半径的衰减来推导出 $C^\ast$-单性，而无需依赖自由子群的存在？

主要发现

• 对于所有 $m \geq 2$ 且 $n$ 为充分大的奇数，自由Burnside群 $B(m,n)$ 的约化 $C^\ast$-代数是单的且具有唯一迹。
• 作为拟双曲群极限构造的群 $G$ 是 $C^\ast$-单群且具有唯一迹，且不包含非循环自由子群。
• 随着 $i \to \infty$，和 $\sum_{y \in Y_i} \lambda_G(ygy^{-1})$ 的谱半径趋于零，从而推出 $C^\ast$-单性与迹的唯一性。
• 存在不可数多个两两不同构的有限生成挠群，其约化 $C^\ast$-代数是单的且具有唯一迹。
• 在挠自由情形下，同样成立，其中导出长度为3的可解群提供了此类例子的连续族。
• 该构造表明 $C^\ast$-单性与唯一迹的出现并不要求存在非循环自由子群，从而正面回答了de la Harpe的问题。