[论文解读] Caccioppoli--type estimates and Hardy--type inequalities derived from degenerated $p$--harmonic problems

Pavel Drábek, Agnieszka Kałamajska+1 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 4

一句话总结

本文为涉及加权p-Laplacian算子的退化p-次谐不等式非负解建立了Caccioppoli型估计。利用这些估计，推导出加权Sobolev空间中的精确Hardy型不等式，最优常数由PDE的上解导出，将已知结果推广至退化情形，并在非退化情况下也给出了新的不等式。

ABSTRACT

We obtain Caccioppoli--type estimates for nontrivial and nonnegative solutions to the anticoercive partial differential inequalities of elliptic type involving degenerated $p$--Laplacian: $-Δ_{p,a} u:= -\mathrm{div}(a(x)| a u|^{p-2} a u)\ge b(x)Φ(u)$, where $u$ is defined in a domain $Ω$. Using Caccioppoli--type estimates, we obtain several variants of Hardy--type inequalities in weighted Sobolev spaces.

研究动机与目标

• 为形如 $-\Delta_{p,a}u \geq b(x)\Phi(u)$ 的退化p-次谐不等式，建立非平凡非负解的Caccioppoli型估计。
• 利用这些估计，在加权Sobolev空间中构造具有最优常数的显式Hardy型不等式。
• 通过引入退化权函数和非线性项，推广已知的Hardy不等式结果。
• 证明所推导的不等式是精确的，当存在上解时，最佳常数 $C=1$。
• 将先前在非退化情形（$a \equiv 1$）的结果加以推广，并为径向权结构中的 $r \neq 1$ 情况提供新不等式。

提出的方法

• 通过测试函数和分部积分法，为非负解 $u$ 建立退化 $p$-Laplacian 不等式 $-\Delta_{p,a}u \geq b(x)\Phi(u)$ 的Caccioppoli型估计（定理3.1）。
• 构造形如 $\int_\Omega |\xi|^p \mu_1(dx) \leq \int_\Omega |\nabla\xi|^p \mu_2(dx)$ 的Hardy型不等式，其中 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 是涉及解 $u$、$a(x)$、$b(x)$ 和 $\Phi(u)$ 的测度。
• 将该方法应用于 $\Phi(u) = u^{p-1}$ 和 $\Psi(t) = t^{-(p-1)}$ 的情形，导出不等式 $\int_\Omega |\xi|^p b(x)dx \leq \int_\Omega |\nabla\xi|^p a(x)dx$。
• 证明当存在非平凡非负上解 $u_0$ 满足 $-\Delta_{p,a}u_0 = b(x)u_0^{p-1}$ 时，不等式中常数 $C=1$ 的最优性。
• 利用Talenti型极值轮廓构造显式最优的Hardy-Poincaré不等式，其中径向权函数为 $v_1(x) = (1 + r|x|^{p/(p-1)}) (1 + |x|^{p/(p-1)})^{\gamma(p-1)-p}$ 和 $v_2(x) = (1 + |x|^{p/(p-1)})^{(p-1)\gamma}$。
• 在 $\gamma$、$r$、$n$ 和 $p$ 满足特定条件时，推导出最优常数 $\bar{C}_{\gamma,n,p,r} = n\left(\frac{p}{p-1}\right)^{p-1}\left(\gamma - 1 + \frac{n}{p}(1 - r)\right)^{p-1}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有一般权函数和非线性项的退化p-Laplacian不等式，能否为非平凡非负解建立Caccioppoli型估计？
• RQ2 如何利用此类Caccioppoli估计在加权Sobolev空间中构造Hardy型不等式？
• RQ3 在何种条件下可确保所推导的Hardy不等式中常数为最优？
• RQ4 能否构造出在非退化情形（$a \equiv 1$）下仍精确且有效的新型Hardy型不等式？
• RQ5 具有参数 $\gamma$、$r$、$p$ 和 $n$ 的径向权函数下，Hardy-Poincaré不等式的显式形式及其最优性为何？

主要发现

• 为 $-\Delta_{p,a}u \geq b(x)\Phi(u)$ 的解建立了Caccioppoli型估计，对任意在域 $\Omega$ 中的非负解 $u$ 均成立。
• 所推导的Hardy型不等式 $\int_\Omega |\xi|^p b(x)dx \leq \int_\Omega |\nabla\xi|^p a(x)dx$ 对所有具有紧支集的Lipschitz函数 $\xi$ 成立，当存在上解 $u_0$ 时，常数 $C=1$ 为最优。
• 对于依赖于 $r$、$\gamma$、$p$ 和 $n$ 的一类径向Hardy-Poincaré不等式，推导出最优常数 $\bar{C}_{\gamma,n,p,r} = n\left(\frac{p}{p-1}\right)^{p-1}\left(\gamma - 1 + \frac{n}{p}(1 - r)\right)^{p-1}$。
• 当 $\gamma > nr + 1 - \frac{n}{p}$ 或 $\gamma = 1 + n(1 - \frac{1}{p})$ 且 $r = 1$ 时，不等式为精确的，确认了常数的最优性。
• 本结果推广了D’Ambrosio、Barbatis、Filippas 和 Tertikas 的先前工作，将已知不等式推广至退化情形和新型权结构。
• 即使在非退化情形（$a \equiv 1$）下，也获得了新不等式，特别是当 $r \neq 1$ 时，这些结果未被先前工作（如文献[41]）覆盖。