[论文解读] Canonical bases for tensor products and super Kazhdan-Lusztig theory

Huanchen Bao, Weiqiang Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文在有限型量子对称对的背景下，为基于的 $Υ^/imath$-模与基于的 $Υ$-模的张量积建立了典范基理论，从而实现了正交辛李超代数的抛物 BGG 层 $Σ^rak{l}_{fb}$ 的完整 Kazhdan-Lusztig 理论。关键贡献在于在 $M \otimes N$ 上构造了 $Υ^/imath$-典范基，将先前结果推广至非 $\Phi$-模结构，并实现了所有抛物范畴的超 Kazhdan-Lusztig 多项式。

ABSTRACT

We generalize a construction in [BW18] (arXiv:1610.09271) by showing that the tensor product of a based $ extbf{U}^{\imath}$-module and a based $ extbf{U}$-module is a based $ extbf{U}^{\imath}$-module. This is then used to formulate a Kazhdan-Lusztig theory for an arbitrary parabolic BGG category $\mathcal{O}$ of the ortho-symplectic Lie superalgebras, extending a main result in [BW13] (arXiv:1310.0103).

研究动机与目标

• 将 $Υ^\imath$-典范基的构造从 $Υ$-模的张量积推广至基于 $Υ^\imath$-模与基于 $Υ$-模的张量积。
• 为包含类型 B 因子的 Levi 子代数的正交辛李超代数的任意抛物 BGG 层 $Σ^\frak{l}_{\bfb}$ 建立 Kazhdan-Lusztig 理论。
• 证明对于一个基于的 $Υ^\imath$-模 $M$ 与一个基于的 $Υ$-模 $N$，在 $M \otimes N$ 上存在一个 $Υ^\imath$-典范基，该构造使用新的对合与修改后的偏序。
• 将超 Kazhdan-Lusztig 理论的适用范围从全范畴 $Σ_{\bfb}$ 扩展至所有抛物范畴，特别是当 $a_0 > 0$ 时，即 Levi 子代数包含类型 B 分量的情形。

提出的方法

• 通过在 ${\mathbb{U}^\imath} \otimes \mathbb{U}^+$ 的完备化中使用元素 $\Theta^{\imath}$，在张量积 $M \otimes N$ 上构造一个新的对合 $\psi_{\imath}$，并利用 quasi-$\mathcal{R}$ 与 quasi-$\mathcal{K}$ 矩阵的整性证明其整性。
• 在权格上定义一个新的偏序，该偏序比早期工作中使用的更简单且更适用于 $M$ 不是 $\mathbb{U}$-模的情形。
• 将 $\imath$-典范基 $\mathbb{B}^{\imath} \diamondsuit_{\imath} \mathbb{B}$ 构造为唯一满足 $\psi_{\imath}$-不变性、整性且与对合相容的基。
• 利用 $\widehat{\mathbb{T}}^{\mathbf{b},\mathfrak{l}}$ 上 $\imath$-典范基的存在性，为抛物范畴 $\mathcal{O}^{\mathfrak{l}}_{\mathbf{b}}$ 建立超 Kazhdan-Lusztig 理论，其中基元素对应于标准模与不可约模。
• 利用 $[[\mathcal{O}^{\mathfrak{l},\Delta}_{\mathbf{b}}]]$ 与 $\widehat{\mathbb{T}}^{\mathbf{b},\mathfrak{l}}_\mathbb{Z}$ 之间的 $\mathbb{Z}$-模交换图，比较特征标并推导出同构 $\Psi$。
• 对商模 $\mathbb{T}^{\mathbf{b}} / \mathbb{S}^{\mathfrak{l}}$ 应用经典 Kazhdan-Lusztig 理论，证明抛物 Kazhdan-Lusztig 基是 $\imath$-典范基的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $\imath$-典范基的构造从 $\mathbb{U}$-模的张量积推广至 $\mathbb{U}^\imath$-模与 $\mathbb{U}$-模的张量积？
• RQ2 在 $M \otimes N$ 上存在 $\imath$-典范基是否足以在正交辛李超代数的抛物 BGG 层 $\mathcal{O}^{\mathfrak{l}}_{\mathbf{b}}$ 上建立完整的 Kazhdan-Lusztig 理论，包括含有非平凡类型 B Levi 子代数的情形？
• RQ3 当 $M$ 不是 $\mathbb{U}$-模时，新偏序在 $\imath$-典范基构造中起什么作用？
• RQ4 从 quasi-$\mathcal{R}$ 与 quasi-$\mathcal{K}$ 矩阵导出的 $\Theta^{\imath}$ 的整性如何确保 $M \otimes N$ 上 $\imath$-典范基的整性？
• RQ5 能否在奇数 $N$ 的量子对称对的直极限下，利用 $\imath$-典范基为具有半整数权的抛物范畴建立超 Kazhdan-Lusztig 理论？

主要发现

• 基于 $\mathbb{U}^\imath$-模 $(M, \mathbb{B}^\imath)$ 与基于 $\mathbb{U}$-模 $(N, \mathbb{B})$ 的张量积 $M \otimes N$ 允许存在一个 $\psi_{\imath}$-不变基 $\mathbb{B}^\imath \diamondsuit_{\imath} \mathbb{B}$，使得 $(M \otimes N, \mathbb{B}^\imath \diamondsuit_{\imath} \mathbb{B})$ 成为一个基于的 $\mathbb{U}^\imath$-模。
• 在 $M \otimes N$ 上构造 $\psi_{\imath}$-不变基依赖于一种新的、更简单的偏序，该偏序比先前的偏序更适用于一般 $\mathbb{U}^\imath$-模情形。
• $\Theta^{\imath}$ 的整性通过 Lusztig [Lu94] 的 quasi-$\mathcal{R}$ 矩阵整性与 [BW18b] 的 quasi-$\mathcal{K}$ 矩阵整性得以确立。
• 通过 $\widehat{\mathbb{T}}^{\mathbf{b},\mathfrak{l}}$ 上的 $\imath$-典范基，为抛物范畴 $\mathcal{O}^{\mathfrak{l}}_{\mathbf{b}}$ 建立了超 Kazhdan-Lusztig 理论，同构 $\Psi$ 将不可约模与标准模分别映射为其 $\imath$-典范基对应元素。
• 抛物范畴 $\mathcal{O}^{\mathfrak{l}}_{\mathbf{b}}$ 的 Kazhdan-Lusztig 多项式 $t^{\mathbf{b}}_{gf}(q)$ 属于 $\mathbb{N}[q]$，且对所有 $f$，和式 $T^{\mathbf{b},\mathfrak{l}}_f = M^{\mathbf{b},\mathfrak{l}}_f + \sum_g t^{\mathbf{b}}_{gf}(q) M^{\mathbf{b},\mathfrak{l}}_g$ 为有限和，从而确认了正性与有限性。
• 该理论通过奇数 $N$ 的量子对称对的直极限扩展至半整数权范畴，且通过 $\kappa = 0$ 扩展至类型 D，定理 10 在所有情形下均成立，包括 $a_0 > 0$ 的情况。