[论文解读] Canonical equivalence of quantum systems, multimode squeezed states and Robertson relation

D. A. Trifonov|ArXiv.org|Jan 9, 1998

Quantum Information and Cryptography参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通過時變正則變換（CT）建立了N維量子系統的規範等價性，證明任意兩個哈密頓量均可通過此類變換相互關聯。本文展示線性時變CT可對角化不確定性矩陣，並表明多模壓縮相干態唯一最小化羅伯erts不確定性關係，為各模光子數相等的多模量子態提供了辛幾何框架。

ABSTRACT

It is shown that any two Hamiltonians H(t) and H'(t) of N dimensional quantum systems can be related by means of time-dependent canonical transformations (CT). The dynamical symmetry group of system with Hamiltonian H(t) coincides with the invariance group of H(t). Quadratic Hamiltonians can be diagonalized by means of linear time-dependent CT. The diagonalization can be explicitly carried out in the case of stationary and some nonstationary quadratic H. Linear CT can diagonalize the uncertainty matrix σ(ρ) for canonical variables p_k, q_j in any state ρ, i.e., σ(ρ) is symplectically congruent to a diagonal uncertainty matrix. For multimode squeezed canonical coherent states (CCS) and squeezed Fock states with equal photon numbers in each mode σis symplectic itself. It is proved that the multimode Robertson uncertainty relation is minimized only in squeezed CCS.

研究动机与目标

• 建立一個通用框架，透過時變正則變換來關聯N維量子系統中任意時變哈密頓量。
• 研究線性正則變換在任意量子態中對規範變量不確定性矩陣對角化的角色。
• 透過識別哈密頓量的不變性群，釐清量子系統的動力學對稱結構。
• 確定多模羅伯茨不確定性關係最小化的條件，特別是與多模壓縮相干態的關係。
• 分析各模光子數相等的多模壓縮福克態之不確定性矩陣的辛性質。

提出的方法

• 利用時變正則變換（CT）關聯任意兩個N維量子哈密頓量H(t)與H'(t)，建立規範等價性。
• 應用線性時變CT對對角化二次哈密頓量，特別適用於定態與特定非定態情形。
• 運用辛幾何證明規範變量的不確定性矩陣σ(ρ)經線性CT可辛同構於對角矩陣。
• 證明對於多模壓縮規範相干態與等光子數壓縮福克態，不確定性矩陣σ本身即為辛矩陣。
• 推導多模羅伯茨不確定性關係，並證明其最小化僅發生於多模壓縮相干態。
• 利用哈密頓量的不變性群識別系統的動力學對稱群。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意兩個N維量子哈密頓量是否可透過時變正則變換關聯？這對系統等價性有何含義？
• RQ2 線性時變正則變換如何影響任意量子態中不確定性矩陣的對角化？
• RQ3 在何種條件下多模羅伯茨不確定性關係達至最小化？哪些量子態實現此最小化？
• RQ4 多模壓縮相干態與等光子數壓縮福克態的不確定性矩陣具有何種辛結構？
• RQ5 哈密頓量的不變性群如何與對應量子系統的動力學對稱群關聯？

主要发现

• 任何兩個具有時變哈密頓量H(t)與H'(t)的N維量子系統，皆可透過時變正則變換實現規範等價。
• 二次哈密頓量可透過線性時變正則變換明確對角化，特別適用於定態與特定非定態情形。
• 規範變量的不確定性矩陣σ(ρ)經線性正則變換，無論狀態ρ為何，皆可辛同構於對角矩陣。
• 對於多模壓縮相干態與等光子數壓縮福克態，不確定性矩陣σ本身即為辛矩陣。
• 多模羅伯茨不確定性關係僅在多模壓縮相干態中達至最小化，其他壓縮態則否。
• 具有哈密頓量H(t)的系統之動力學對稱群，與H(t)的不變性群完全一致，從而確立對稱性與哈密頓結構之間的直接關聯。