[论文解读] Canonical Structure of the Teleparallel Equivalent of General Relativity

Petar Mitrić|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2019

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文使用狄拉克约束形式化方法，对平行引力（TG）及其等价形式——广义相对论的平行引力等价形式（TEGR）进行了详尽的正则分析。推导了所有泊松括号，将约束分类为第一类或第二类，识别出规范对称性的生成元，包括局部平移对称性，并计算了物理自由度的数量。主要贡献在于系统性地完整推导了正则结构，包括TG和TEGR中泊松括号的创新计算技术，给出了约束代数和规范生成元的明确结果。

ABSTRACT

In this paper we review the canonical analysis of constrained systems and apply it in the case of teleparallel equivalent of general relativity and teleparallel gravity. For each of them we find all the Poisson brackets, generators of gauge symmetries, as well as the number of degrees of freedom.

研究动机与目标

• 使用狄拉克约束形式化方法，系统推导平行引力（TG）及其等价形式TEGR的正则结构。
• 计算TG和TEGR中所有非平凡的约束与哈密顿密度之间的泊松括号，提供完整的代数框架。
• 将约束分类为第一类或第二类，并确定两种理论中的物理自由度数量。
• 利用卡斯特拉尼算法构造规范对称性的生成元，揭示局部平移是TG中的基本对称性。
• 证明TEGR在拉格朗日形式化中不明显的额外对称性，凸显正则方法的优势。

提出的方法

• 采用ADM基底将时空分解为空间片与时间演化，实现理论的3+1分解。
• 应用狄拉克正则形式化方法，从TG和TEGR的拉格朗日密度中识别出初级与次级约束。
• 使用卡斯特拉尼算法，系统性地从第一类约束构造规范对称性的生成元。
• 利用显式的张量恒等式与四维标架微分几何，推导哈密顿约束与动量约束之间以及约束之间的所有泊松括号。
• 利用ADM变量对$b^k{}_0$的依赖关系与雅可比定理，简化并验证泊松括号的计算。
• 采用一种新颖的计算方法，处理四维标架形式化中的反对称化与行列式恒等式，特别是针对$ε^{\alpha 0\beta\gamma}_{ijmk}$与扭率项。

实验结果

研究问题

• RQ1 平行引力（TG）的完整正则结构是什么，包括所有泊松括号与约束分类？
• RQ2 TEGR中哈密顿约束与动量约束之间的泊松括号与TG中的有何不同？它们揭示了理论对称性的哪些信息？
• RQ3 TG与TEGR中规范对称性的生成元是什么？它们如何与局部平移及其他时空对称性相关联？
• RQ4 为何TEGR表现出拉格朗日形式化中不可见的额外对称性？该对称性在正则框架中如何被捕捉？
• RQ5 TG与TEGR中物理自由度的数量是多少？它们如何从约束代数中确定？

主要发现

• TG的正则哈密顿量由四维标架拉格朗日密度构造，所有约束均通过狄拉克算法推导，得到完整的一级与二级约束集。
• TG与TEGR中所有非平凡泊松括号均被显式计算，包括${\mathcal{H}_\alpha(x), \mathcal{H}_\beta(x')\}$、${\mathcal{H}_\alpha, \mathcal{H}'_\perp\}$与${\mathcal{H}_\perp, \mathcal{H}'_\perp\}$，结果以空间张量与扭率形式表达。
• TEGR中的约束代数表明所有约束均为第一类，确认理论的规范不变性，并导致每时空点有2个物理自由度。
• TG中规范对称性的生成元被证明生成局部平移，表明TG可从局部洛伦兹与平移对称性的不变性推导而来。
• 在TEGR中，识别出一种在拉格朗日形式化中不明显的额外规范对称性，凸显正则方法在揭示隐藏结构方面的优势。
• TG与TEGR中的物理自由度数量均被确定为2，与广义相对论一致，确认了二者在物理内容层面的动力学等价性。