[论文解读] Capacity of multivariate channels with multiplicative noise: I.Random matrix techniques and large-N expansions for full transfer matrices

Anirvan M. Sengupta, Partha P. Mitra|ArXiv.org|Oct 31, 2000

Wireless Communication Security Techniques参考文献 4被引用 92

一句话总结

本文利用大N随机矩阵理论技术，计算具有乘性衰落和加性高斯噪声的多变量无线信道的遍历容量。推导出对数行列式容量表达式的各阶矩的精确表达式，从而在各种信道状态信息假设下（包括信道端完全已知、部分已知和未知）对信道容量进行精确表征。

ABSTRACT

We study memoryless, discrete time, matrix channels with additive white Gaussian noise and input power constraints of the form $Y_i = \sum_j H_{ij} X_j + Z_i$, where $Y_i$ ,$X_j$ and $Z_i$ are complex, $i=1..m$, $j=1..n$, and $H$ is a complex $m imes n$ matrix with some degree of randomness in its entries. The additive Gaussian noise vector is assumed to have uncorrelated entries. Let $H$ be a full matrix (non-sparse) with pairwise correlations between matrix entries of the form $ E[H_{ik} H^*_{jl}] = {1\over n}C_{ij} D_{kl} $, where $C$,$D$ are positive definite Hermitian matrices. Simplicities arise in the limit of large matrix sizes (the so called large-N limit) which allow us to obtain several exact expressions relating to the channel capacity. We study the probability distribution of the quantity $ f(H) = \log \det (1+P H^{\dagger}S H) $. $S$ is non-negative definite and hermitian, with $Tr S=n$. Note that the expectation $E[f(H)]$, maximised over $S$, gives the capacity of the above channel with an input power constraint in the case $H$ is known at the receiver but not at the transmitter. For arbitrary $C$,$D$ exact expressions are obtained for the expectation and variance of $f(H)$ in the large matrix size limit. For $C=D=I$, where $I$ is the identity matrix, expressions are in addition obtained for the full moment generating function for arbitrary (finite) matrix size in the large signal to noise limit. Finally, we obtain the channel capacity where the channel matrix is partly known and partly unknown and of the form $αI+ βH$, $α,β$ being known constants and entries of $H$ i.i.d. Gaussian with variance $1/n$. Channels of the form described above are of interest for wireless transmission with multiple antennae and receivers.

研究动机与目标

• 使用随机矩阵理论分析具有乘性衰落和加性白高斯噪声的无记忆矩阵信道的容量。
• 在大矩阵尺寸极限下，推导出对数行列式容量表达式的期望和方差的精确表达式。
• 研究当信道矩阵在发射端部分已知时（例如形式为αI + βH）的信道容量，以及输入功率受限的情况。
• 将结果扩展到具有已知方差的i.i.d.衰落条目情况，从而在实际无线信道假设下实现容量计算。

提出的方法

• 使用大N随机矩阵理论分析随机变量 f(H) = log det(1 + P H† S H) 的统计特性，其中S为输入协方差矩阵。
• 应用鞍点积分和矩生成函数技术，在大m, n极限下计算f(H)的期望和方差。
• 在大信噪比（SNR）极限下，针对C = D = I（单位矩阵）的特殊情况，推导出f(H)的矩生成函数。
• 采用鞍点近似方法评估互信息表达式中出现的高维积分，特别是针对幅度受限输入的情况。
• 使用复制法和生成函数技术，在大矩阵维数极限下计算容量。
• 通过变分方法和熵项的鞍点评估，最大化互信息以推导出容量表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有i.i.d.衰落和加性高斯噪声的大MIMO系统，其信道容量的精确渐近行为是什么？
• RQ2 在信道矩阵中具有通用相关结构时，对数行列式容量表达式的矩在大N极限下如何表现？
• RQ3 当发射端部分已知信道矩阵时（例如αI + βH，其中H的条目为i.i.d.），容量是多少？
• RQ4 在幅度（峰值功率）约束下，互信息如何表现？在大N极限下，其对应的容量是什么？
• RQ5 在高SNR区域，对于有限矩阵尺寸，容量表达式的完整矩生成函数能否被精确计算？

主要发现

• 对于任意正定的厄米特矩阵C和D，推导出在大N极限下f(H)的期望和方差的精确表达式。
• 当C = D = I时，在大SNR极限下，对有限矩阵尺寸精确计算出f(H)的完整矩生成函数。
• 推导出当信道矩阵为αI + βH（其中α, β已知，H具有方差为1/n的i.i.d.高斯条目）时的信道容量。
• 在大N极限下，发现幅度受限输入的单位天线容量为 c = log[(1 + (α² + β²)P)/(1 + β²P)]。
• 结果具有普适性，由于随机矩阵理论的普适性，这些结果适用于广泛的信道分布，而不仅限于高斯分布。
• 容量表达式与所采用的缩放约定无关，尽管本文采用一种约定：输入和输出信号为1阶量，H按1/√n缩放以保持奇异值行为一致。