[论文解读] Caractères de Chern, traces équivariantes et géométrie algébrique dérivée

Bertrand Toën, Gabriele Vezzosi|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 9

一句话总结

本文通过一种新的对称张量刚性∞-范畴框架，为∞-范畴构造了一个导出的陈特征，并构建了一个双曲迹态射。其主要贡献在于构造了一个取值于负循环同调的陈特征，该特征推广了经典陈特征，并为dg-范畴族提供了新的不变量，包括一个Gauss-Manin联络以及一种新上同调理论中的二级陈特征。

ABSTRACT

The purpose of this work is to provide details about the construction of the Chern character for categorical sheaves mentioned in our previous work "Chern character, loop spaces and derived algebraic geometry". For this, we introduce and study the notion of rigid symmetric monoidal \infty-category. We show how trace maps can be constructed in this higher categorical setting, and using a recent work of Hopkins-Lurie we prove the existence of a "cyclic trace", which is the main ingredient in the construction of the Chern character. Our Chern character is then constructed for any pair (T,A), consisting of a \infty-topos T and a stack of rigid symmetric monoidal \infty-categories A on T. We propose two main applications of this construction. First of all, we show how to recover the Chern character of perfect complexes on schemes, with values in cyclic homology, and show how it can be extended to an interesting new Chern character for Artin stacks. Our second application provides invariants of famillies of dg-categories. A consequence of the existence of these invariants is the construction of a Gauss-Manin connexion on the cyclic homology complex of such a familly, generalizing previous constructions by Getzler and of Dolgushev-Tamarkin-Tsygan. Another consequence is the construction of the "character sheaf" associated to a representation of an algebraic group into a dg-category, which is a categorification of the character function of a linear representation. Finally, for a familly of saturated dg-categories we construct a "secondary Chern character", taking values in a new cohomology theory called "secondary cyclic homology".

研究动机与目标

• 通过∞-范畴建立在导出代数几何中构造陈特征的一般框架。
• 将向量丛和完美复形的经典陈特征推广至阿廷堆栈和dg-范畴的设定。
• 为dg-范畴族构造新的不变量，包括周期循环同调上的Gauss-Manin联络。
• 在一种称为二级循环同调的新上同调理论中，定义取值于该理论的二级陈特征。
• 在dg-范畴设定中，对群表示的特征层实现范畴化推广。

提出的方法

• 引入并研究对称张量刚性∞-范畴，作为迹理论的基础。
• 从自同态的∞-群胚到单位对象的∞-群胚，构造一个双曲迹态射。
• 利用霍普金斯-卢里亚的流形假设，确立迹的双曲不变性。
• 为任意一对$(T, \mathcal{A})$定义陈特征，其中$T$是∞-拓扑空间，$\mathcal{A}$是$T$上的对称张量刚性∞-范畴。
• 将该构造应用于概形和堆栈的∞-拓扑空间，以恢复并推广经典陈特征在负循环同调中的形式。
• 为饱和dg-范畴构造一个取值于二级循环同调的二级陈特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用高阶范畴理论，将完美复形的陈特征推广至阿廷堆栈和dg-范畴的设定？
• RQ2 双曲不变性在导出代数几何中构造迹态射的过程中起什么作用？
• RQ3 能否通过迹理论方法，在dg-范畴族的周期循环同调上构造Gauss-Manin联络？
• RQ4 二级陈特征的结构是什么，它取值于哪种上同调理论？
• RQ5 在dg-范畴框架中，如何对群表示的特征层实现范畴化推广？

主要发现

• 从对称张量刚性∞-范畴中自同态的∞-群胚到单位对象的∞-群胚，构造了一个双曲迹态射。
• 该迹态射满足由流形假设导出的强双曲不变性。
• 在负循环同调中取值的完美复形的陈特征被恢复并推广至阿廷堆栈。
• 在紧生成dg-范畴族的周期循环同调上构造了Gauss-Manin联络。
• 构造了一个取值于新上同调理论——二级循环同调的二级陈特征，证实了[To-Ve1]中的一个预测。
• 在dg-范畴框架中，为代数群的dg-表示构造了特征层，作为经典特征函数的范畴化。