[论文解读] Categorical Fermionic Actions and Minimal Modular Extensions

César Galíndo, César F. Venegas-Ramírez|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用 11

一句话总结

本文為有限超群在费米子和自旋-辫子融合范畴上的费米子作用建立了范畴框架，确立了上同调障碍与类似Tannakian情形的2-等价关系。它提供了超-Tannakian范畴最小模扩展的必要且充分条件，并构造了不具有此类扩展的辫子融合范畴的例子，解决了费米子设定下模扩展问题的关键方面。

ABSTRACT

We define fermionic actions of finite super-groups on fermionic fusion categories and establish necessary and sufficient conditions for their existence. Our main result characterizes when a braided fusion category admits a minimal non-degenerate extension in terms of cohomological obstructions. This characterization for braided fusion categories with non-Tannakian Müger center involves the fermionic structures and fermionic actions introduced in this work.

研究动机与目标

• 为有限超群在费米子融合范畴与自旋-辫子融合范畴上的范畴费米子作用建立理论。
• 将Tannakian情形下的结果推广至超群设定，包括上同调障碍与2-等价关系。
• 对超群表示范畴与非-Tannakian辫子融合范畴的最小模扩展进行分类与构造。
• 确定在费米子设定下最小模扩展存在的必要且充分条件。
• 提供不具有最小模扩展的辫子融合范畴的显式例子。

提出的方法

• 利用范畴与张量范畴结构，定义超群在费米子融合范畴与自旋-辫子融合范畴上的费米子作用。
• 在具有超群作用的费米子融合范畴2-范畴与Rep(Ḡ,z)上的融合范畴之间建立2-等价关系，推广DGNO10的结果。
• 在H^3(Ḡ, ℂ×)中引入一个用于此类作用存在的上同调障碍，并给出群论解释。
• 利用辫子G-横截范畴与Müger中心分析最小模扩展。
• 将理论应用于分类超群的最小模扩展，并研究其在秩为四的指向性范畴中的H^4障碍。
• 利用群上同调工具，包括Kunneth公式与Lyndon算法，计算直积群的上同调类。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个超群在费米子融合范畴上存在范畴费米子作用的必要且充分条件是什么？
• RQ2 如何对超-Tannakian融合范畴的最小模扩展进行分类与构造？
• RQ3 在何种条件下，一个辫子融合范畴不具有最小模扩展？
• RQ4 H^3与H^4上同调在阻碍费米子作用与模扩展中起什么作用？
• RQ5 从Rep(Ḡ,z)的最小模扩展到SVec的最小模扩展的同态在何时是满射？

主要发现

• 在具有超群(Ḡ,z)费米子作用的费米子融合范畴与Rep(Ḡ,z)上的融合范畴之间建立了2-等价关系，将DGNO10的定理推广至超群设定。
• 识别出H^3(Ḡ, ℂ×)中的上同调障碍以确保费米子作用的存在，并通过扭曲Drinfeld双代数给出群论解释。
• 本文证明：从Rep(Ḡ,z)的最小模扩展到SVec的最小模扩展的同态是满射，当且仅当超群(Ḡ,z)是平凡的。
• 显式构造了不具有最小模扩展的辫子融合范畴的例子，表明此类扩展并非总是存在。
• 对于秩为四的指向性自旋-辫子融合范畴，计算了H^4障碍，并表明其通常非平凡，表明作用扩展受到阻碍。