[论文解读] Categories of quantum liquids II

Liang Kong, Hao Zheng|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2021

Algebraic structures and combinatorial models被引用 4

一句话总结

本文提出了一套更高范畴的数学框架，用于在时空维度 ≥3 的情况下对具有能隙的量子液体进行分类，采用可分高阶范畴、中心函子和模扩展等工具。通过引入正交高阶范畴来处理反酉对称性，该框架在群上同调之外实现了对对称拓扑序（SPT）的系统性分类，揭示了在时间反演对称和费米子对称下三维中新的非平凡SPT相。

ABSTRACT

We continue to develop the theory of separable higher categories, including center functors, higher centralizers, modular extensions and group theoretical higher fusion categories. Moreover, we outline a theory of orthogonal higher categories to treat anti-unitary symmetries. Using these results we derive a systematic classification of gapped quantum liquids and predict many new SPT orders in spacetime dimension $\ge3$.

研究动机与目标

• 开发一种数学框架，利用可分高阶范畴对时空维度 ≥3 的能隙量子液体进行分类。
• 将边界-体关系和中心函子推广至高阶范畴，扩展1+1维RCFT和2+1维拓扑序中的结果。
• 建立具有有限酉对称和反酉对称的SPT序的系统性分类，包括费米子对称和时间反演对称。
• 引入正交高阶范畴以处理反酉对称和时间反演对称，实现超越标准群上同调的分类。
• 通过模扩展和中心函子，统一SPT序、对称性自发破缺的 trivial 相以及混合对称相的分类。

提出的方法

• 利用凝聚完成理论，将融合1-范畴的结果推广至高阶融合n-范畴。
• 引入E₀-、E₁-中心函子，并通过可分n-范畴理论将问题约化至E₀-中心，证明其在高阶范畴中的函子性。
• 定义Eₘ-中心化子和完美配对，以在高阶范畴中形式化模扩展。
• 在高阶范畴中建立E₂-融合n-范畴的模扩展与它们的E₁-中心的辫状等价性之间的一一对应关系。
• 引入正交高阶范畴以建模反酉对称和时间反演对称，推广酉表示理论。
• 将该框架应用于SPT序的分类，通过配对(A, φ)的等价类进行分类，其中A是正交E₀-多融合n-范畴，φ是A的E₀-中心的正交张量等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用高阶范畴理论将边界-体关系从1+1维和2+1维系统推广至高维量子液体？
• RQ2 高阶融合n-范畴中的模扩展具有何种数学结构？它们与规范对称性及SPT分类有何关联？
• RQ3 如何系统地将反酉对称和时间反演对称纳入SPT序分类框架，借助正交高阶范畴？
• RQ4 在高维中，具有内禀对称性、对称性自发破缺的trivial相以及混合对称相的SPT序分类在哪些方面相互一致？
• RQ5 现有群上同调分类在多大程度上无法捕捉到具有时间反演或费米子对称的三维中非平凡SPT相？

主要发现

• 证明了E₁-中心函子在可分高阶范畴中是函子性的，将1+1维和2+1维中的早期结果推广至任意时空维度。
• 在高阶范畴中，建立了E₂-融合n-范畴的模扩展与它们的E₁-中心的辫状等价性之间的一一对应关系，将Müger理论推广至高阶范畴。
• 证明了具有ℤ₄ᵀ对称性的三维SPT序的分类超越群上同调，发现了两个不同的模扩展，其中包括一个此前未识别的非平凡相。
• 对于ℤₘ×ℤ₄ᵀ（其中m为奇数），三维SPT序的分类也超越群上同调，因为H³(ℤₘ×ℤ₄ᵀ, U_T(1)) = ℤ₁，但存在多个模扩展。
• 发现了sRep(ℤ₂ᶠ×ℤ₂ᵀ)的四个模扩展，表明存在两个不同的费米子型三维时间反演SPT相，其中一个未出现在现有物理学文献中。
• 证明了具有时空群对称性G的SPT序、对G发生破缺的对称性自发破缺trivial相，以及具有局部G对称性的SPT序的分类是等价的，从而在高维中恢复了晶体等价性原理。