[论文解读] Categorification of Pre-Lie Algebras and Solutions of 2-graded Classical Yang-Baxter Equations

Yunhe Sheng|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用 10

一句话总结

本文引入了预李2-代数作为预李代数的范畴化，并建立了其与2-项预李∞-代数的等价性。定义了李2-代数上的O-算子，表明其可生成预李2-代数及半直积李2-代数中的2-graded经典杨-巴克斯特定方程（2-graded CYBE）的解，将经典李代数结果推广至高阶范畴结构。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the notion of a pre-Lie 2-algebra, which is a categorification of a pre-Lie algebra. We prove that the category of pre-Lie 2-algebras and the category of 2-term pre-Lie$_\infty$-algebras are equivalent. We classify skeletal pre-Lie 2-algebras by the third cohomology of a pre-Lie algebra. We prove that crossed modules of pre-Lie algebras are in one-to-one correspondence with strict pre-Lie 2-algebras. $\mathcal O$-operators on Lie 2-algebras are introduced, which can be used to construct pre-Lie 2-algebras. As an application, we give solutions of 2-graded classical Yang-Baxter equations in some semidirect product Lie 2-algebras.

研究动机与目标

• 通过引入高阶范畴类比，对预李代数、O-算子与经典杨-巴克斯特定方程（CYBE）解之间的关系进行范畴化。
• 定义并研究作为预李代数范畴化的预李2-代数，建立其与2-项预李∞-代数的等价性。
• 利用预李代数的第三上同调群对骨架预李2-代数进行分类。
• 建立预李代数的交叉模与严格预李2-代数之间的一一对应关系。
• 通过李2-代数上的O-算子构造半直积李2-代数中2-graded经典杨-巴克斯特定方程的解。

提出的方法

• 将预李2-代数定义为在2-项复形上、满足特定公理的乘法兼容的范畴化版本的预李代数。
• 在表示背景下，定义李2-代数上的O-算子，将经典李代数中的O-算子概念推广至高阶结构。
• 通过子邻接李代数及对偶空间上的表示，从2-项预李∞-代数构造李2-代数。
• 利用预李代数结构及其对偶所定义的乘法与李括号，构建李2-代数结构。
• 通过自然构造证明2-项预李∞-代数的范畴与预李2-代数的范畴等价。
• 通过半直积李2-代数中O-算子的像构造2-graded CYBE的解，推广经典预李代数中的构造方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典中O-算子、预李代数与CYBE解之间的关系如何被范畴化为高阶范畴结构？
• RQ2 预李2-代数的精确定义与结构是什么？其与2-项预李∞-代数有何关系？
• RQ3 预李代数的交叉模如何与严格预李2-代数对应？
• RQ4 预李代数的第三上同调在骨架预李2-代数的分类中起什么作用？
• RQ5 能否通过李2-代数上的O-算子在李2-代数中构造2-graded经典杨-巴克斯特定方程的解？

主要发现

• 预李2-代数的范畴与2-项预李∞-代数的范畴等价，建立了基本的结构对应关系。
• 骨架预李2-代数由其底层预李代数的第三上同调群分类。
• 预李代数的交叉模与严格预李2-代数之间存在一一对应关系。
• 李2-代数上的O-算子诱导出预李2-代数结构，推广了经典O-算子构造。
• 通过O-算子在半直积李2-代数中构造了2-graded经典杨-巴克斯特定方程的解，扩展了经典结果。
• 当d为反对称且乘法通过预李代数及其对偶定义时，在严格李2-代数(g(A), A*, d, l2)中显式构造了解r的2-graded CYBE。