[论文解读] Cayley Configuration Spaces of 1-dof Tree-decomposable Linkages, Part II: Combinatorial Characterization of Complexity

Meera Sitharam, Menghan Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用 11

一句话总结

本文证明了Cayley复杂度——即在一自由度树可分解连杆机构中描述端点长度的代数复杂度——与基非边的选择无关，使其成为图的内在性质。它通过平面性为一个自然子类提供了低Cayley复杂度图的有限、可算法识别的刻画，同时表明在一般情况下，此类有限的禁用极小图刻画是不可能的。

ABSTRACT

We continue to study Cayley configuration spaces of 1-dof linkages in 2D begun in Part I of this paper, i.e. the set of attainable lengths for a non-edge. In Part II, we focus on the algebraic complexity of describing endpoints of the intervals in the set, i.e., the Cayley complexity. Specifically, We focus on Cayley configuration spaces of a natural class of 1-dof linkages, called 1-dof tree-decomposable linkages. The underlying graphs G satisfy the following: for some base non-edge f, G \cup f is quadratic-radically solvable (QRS), meaning that G \cup f is minimally rigid, and given lengths \bar{l} of all edges, the corresponding linkage (G \cup f, \bar{l}) can be simply realized by ruler and compass starting from f. It is clear that the Cayley complexity only depends on the graph G and possibly the non-edge f. Here we ask whether the Cayley complexity depends on the choice of a base non-edge f. We answer this question in the negative, thereby showing that low Cayley complexity is a property of the graph G (independent of the non-edge f). Then, we give a simple characterization of graphs with low Cayley complexity, leading to an efficient algorithmic characterization, i.e. an efficient algorithm for recognizing such graphs. Next, we show a surprising result that (graph) planarity is equivalent to low Cayley complexity for a natural subclass of 1-dof triangle-decomposable graphs. While this is a finite forbidden minor graph characterization of low Cayley complexity, we provide counterexamples showing impossibility of such finite forbidden minor characterizations when the above subclass is enlarged.

研究动机与目标

• 确定Cayley复杂度是否依赖于一自由度树可分解连杆机构中基非边的选择。
• 为具有低Cayley复杂度的图提供有限且可算法识别的刻画。
• 研究低Cayley复杂度是否具有有限的禁用极小图刻画。
• 在自然子类中建立平面性与低Cayley复杂度之间的意外等价关系。

提出的方法

• 证明：若某一基非边构造下的极端图是树可分解的，则对任意其他基非边，其仍为树可分解，从而确保Cayley复杂度是图不变量。
• 基于层级结构与构造步骤约束，发展一自由度树可分解图中低Cayley复杂度的刻画方法。
• 引入并分析两个子类：单路径图与无三角形图，以研究禁用极小图刻画。
• 通过树可分解子图的归纳构造，证明任意团$K_m$均可为低Cayley复杂度图的极小图。
• 应用禁用极小图理论，表明在1路径图与无三角形图子类之外，有限禁用极小图刻画是不可能的。
• 基于构造层级与顶点度数的结构约束，设计一种高效的低Cayley复杂度图识别算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 一自由度树可分解图的Cayley复杂度是否依赖于基非边的选择？
• RQ2 低Cayley复杂度能否由一组有限的禁用极小图刻画？
• RQ3 在自然子类的一自由度树可分解图中，是否存在平面性与低Cayley复杂度之间的结构等价？
• RQ4 任意团$K_m$能否是低Cayley复杂度图的极小图？
• RQ5 识别具有低Cayley复杂度的图的算法复杂度是多少？

主要发现

• Cayley复杂度与基非边的选择无关；它是图本身的性质，而非依赖于非边。
• 一自由度树可分解图具有低Cayley复杂度，当且仅当其在构造过程中所有极端图均为树可分解。
• 对于1路径图、无三角形图及一自由度树可分解图，低Cayley复杂度与图的平面性等价。
• 任意有限图，包括任意团$K_m$，均可为具有低Cayley复杂度的一自由度树可分解图的极小图。
• 对于更广泛的1自由度树可分解图类，低Cayley复杂度的有限禁用极小图刻画是不可能的。
• 基于构造层级与顶点度数的结构约束，存在一种高效的低Cayley复杂度图识别算法。