[论文解读] Cell Complexes for Arrangements with Group Actions

Dana C. Ernst|ArXiv.org|May 27, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 30

一句话总结

本文证明了实定向超平面排列的Salvetti复形与其实复化排列的补集之间同伦等价，并将此结果推广至在相关反射群作用下的情形，表明该同伦等价在群作用下保持不变。关键贡献在于：对于二维反射排列，从对偶复形构造轨道复形，从而为无标记配置空间的基本群提供一个拓扑模型，并通过胞腔复形技术推导出辫子关系。

ABSTRACT

For a real oriented hyperplane arrangement, we show that the corresponding Salvetti complex is homotopy equivalent to the complement of the complexified arrangement. This result was originally proved by M. Salvetti. Our proof follows the framework of a proof given by L. Paris and relies heavily on the notation of oriented matroids. We also show that homotopy equivalence is preserved when we quotient by the action of the corresponding reflection group. In particular, the Salvetti complex of the braid arrangement in $\ell$ dimensions modulo the action of the symmetric group is a cell complex which is homotopy equivalent to the space of unlabelled configurations of $\ell$ distinct points. Lastly, we describe a construction of the orbit complex from the dual complex for all finite reflection arrangements in dimension 2. This description yields an easy derivation of the so-called "braid relations" in the case of braid arrangement.

研究动机与目标

• 建立Salvetti复形与复化超平面排列补集之间的同伦等价。
• 将此等价关系扩展至具有有限反射群作用的排列，特别是辫子排列。
• 在二维情形下，从对偶复形构造轨道复形，为无标记配置空间的基本群提供几何模型。
• 利用胞腔复形与定向拟阵技术，推导轨道复形基本群中的辫子关系。

提出的方法

• 利用定向拟阵框架描述Salvetti复形的面序集与胞腔结构。
• 应用正规胞腔复形及其面序集的概念，对排列补集的拓扑进行建模。
• 通过排列的对偶复形，将轨道复形构造为反射群作用下Salvetti复形的商复形。
• 证明对于二维排列，轨道复形具有一个顶点和一个顶维胞腔，边的等价关系由群作用诱导。
• 利用对偶复形对轨道复形进行建模，其中顶点对应区域，边对应余维数为1的面。
• 作为轨道复形的胞腔结构与群作用的推论，导出辫子关系 $aba = bab$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用Salvetti复形对复化超平面排列补集的同伦型进行建模？
• RQ2 当Salvetti复形被有限反射群商去时，轨道复形的拓扑结构是什么？
• RQ3 二维反射排列的对偶复形如何编码无标记配置空间的基本群？
• RQ4 轨道复形的胞腔结构与基本群中辫子关系之间存在何种关系？
• RQ5 能否直接从对偶复形的组合结构与群作用推导出辫子关系？

主要发现

• 实定向超平面排列的Salvetti复形与其实复化排列的补集同伦等价。
• 该同伦等价在相关反射群作用下保持不变，因此轨道复形与无标记配置空间同伦等价。
• 对于 $\ell$ 维的辫子排列，模对称群 $S_\ell$ 的轨道复形是一个胞腔复形，同伦等价于 $\ell$ 个互异点的无标记配置空间。
• 轨道复形 $|\operatorname{Sal}(\mathcal{A}_2)|/S_3$ 具有一个顶点和一个2-胞腔，边的等价关系导出辫子关系 $aba = bab$。
• 轨道复形的基本群具有以反射为生成元、关系为 $g_i g_j \cdots = g_j g_i \cdots$（含 $m_{ij}$ 个因子）的表示，与辫子群的表示一致。
• 对于二维反射排列，其对偶复形 $D(\mathcal{A})$ 为轨道复形提供了几何实现，其中边对应于Salvetti复形中被识别的成对胞腔。