[论文解读] Central extensions and conformal derivations of a class of Lie conformal algebras

Yanyong Hong|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 10

一句话总结

本文通过其关联的 Gel'fand-Dorfman 双代数研究二次李共形代数的中心扩张与共形导子。研究结果表明，中心扩张对应于特定的双线性形式，而共形导子则对应于双代数上的特定算子。证明了与具有单位元的 Novikov 代数相关的二次李共形代数的所有共形导子均为内导子，并计算了特定情形下的上同调消去结果。

ABSTRACT

A quadratic Lie conformal algebra corresponds to a Hamiltonian pair in \cite{GD}, which plays fundamental roles in completely integrable systems. Moreover, it also corresponds to certain compatible pairs of a Lie algebra and a Novikov algebra which was called Gel'fand-Dorfman bialgebra by Xu in \cite{X1}. In this paper, central extensions and conformal derivations of quadratic Lie conformal algebras are studied in terms of Gel'fand-Dorfman bialgebras. It is shown that central extensions and conformal derivations of a quadratic Lie conformal algebra are related with some bilinear forms and some operators of the corresponding Gel'fand-Dorfman bialgebra respectively.

研究动机与目标

• 在统一框架下理解二次李共形代数的中心扩张与共形导子。
• 将这些结构与相应 Gel'fand-Dorfman 双代数上的双线性形式和算子联系起来。
• 确定共形导子为内导子的条件，以及中心扩张为平凡扩张的条件。
• 计算特定李共形代数的上同调群 $ H^2(R, \mathbb{C}\mathfrak{c}_\beta) $ 与 $ H^2(R, \mathbb{C}[\partial]\mathfrak{c}) $。

提出的方法

• 通过包含一个李代数与一个 Novikov 代数的相容性的 Gel'fand-Dorfman 双代数来表示二次李共形代数。
• 通过满足特定代数恒等式的双代数上的双线性形式来刻画中心扩张。
• 通过从双代数提升算子并求解涉及 $ \partial $-作用的函数方程来分析共形导子。
• 使用上同调技巧计算 $ H^2(R, \mathbb{C}\mathfrak{c}_\beta) $ 与 $ H^2(R, \mathbb{C}[\partial]\mathfrak{c}) $，并证明当 $ \beta \neq 0 $ 时上同调群为零。
• 应用分解 $ D = D^0 + \partial D^1 $ 来分类导子，并分离内导子与外导子成分。
• 利用投影算子与系数比较方法，求解由 $ \lambda $-括号恒等式导出的递推关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 二次李共形代数的中心扩张如何与它们的 Gel'fand-Dorfman 双代数上的双线性形式相关？
• RQ2 在何种条件下，此类代数的共形导子为内导子？
• RQ3 对于具有一维中心的二次李共形代数，第二上同调群 $ H^2(R, \mathbb{C}\mathfrak{c}_\beta) $ 的结构是什么？
• RQ4 是否能通过底层双代数上的算子完全描述李共形代数 $ R(\alpha,\beta) $ 的共形导子？
• RQ5 参数 $ \beta $ 在决定中心扩张的平凡性方面起什么作用？

主要发现

• 与具有右单位元的 Novikov 代数相关的二次李共形代数的中心扩张，可通过其关联的 Gel'fand-Dorfman 双代数上的双线性形式进行分类。
• $ H^2(R, \mathbb{C}\mathfrak{c}_\beta) = 0 $ 当 $ \beta \neq 0 $ 时成立，表明此情况下不存在非平凡的中心扩张。
• $ H^2(R, \mathbb{C}[\partial]\mathfrak{c}) = 0 $ 对于同一类代数成立，表明由自由秩一的 $ \mathbb{C}[\partial] $-模生成的扩张是平凡的。
• 与具有单位元的 Novikov 代数相关的二次李共形代数的所有共形导子均为内导子，即 $ \text{CDer}(R) = \text{CInn}(R) $。
• 对于代数 $ R(1,\beta) $，共形导子包含一个由导子 $ Q $ 张成的外部分量，满足 $ Q_\lambda(L) = W $，$ Q_\lambda(W) = 0 $，因此 $ \text{CDer}(R(1,\beta)) = \text{CInn}(R(1,\beta)) \oplus M $。
• 对于一般共形代数 $ gc_1 $，共形导子分解为 $ \text{CDer}(R) = M \oplus \text{CInn}(R) $，其中 $ M $ 由满足 $ Q_\lambda(L_i) = (i+1)L_{i-1} $ 的算子张成。