[论文解读] Central limit theorem for linear eigenvalue statistics of random geometric graphs

Christian Hirsch, Kyeongsik Nam+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2026

Random Matrices and Applications被引用 0

一句话总结

本文证明了随机几何图的线性特征多项统计的中心极限定理（CLT），包括面向广义测试函数的通用CLT以及面向多项式测试函数的定量CLT，并扩展至相关的空间网络。

ABSTRACT

Random spatial networks-that is, graphs whose connectivity is governed by geometric proximity-have emerged as fundamental models for systems constrained by an underlying spatial structure. A prototypical example is the random geometric graph, obtained by placing vertices according to a Poisson point process and connecting two vertices whenever their Euclidean distance is less than a certain threshold. Despite their broad applicability, the spectral properties of such spatial models remain far less understood than those of classical random graph models, such as Erdős-Rényi graphs and Wigner matrices. The main obstacle is the presence of spatial constraints, which induce highly nontrivial dependencies among edges, placing these models outside the scope of techniques developed for purely combinatorial random graphs. In this paper, we provide the first rigorous analysis of Gaussian fluctuations for linear eigenvalue statistics of random geometric graphs. Specifically, we establish central limit theorems for $ ext{Tr}[ϕ(A)]$, where $A$ is the adjacency matrix and $ϕ$ ranges over a broad class of suitable (possibly non-polynomial) test functions. In the polynomial setting, we moreover obtain a quantitative central limit theorem, including an explicit convergence rate to the limiting Gaussian law. We further obtain polynomial-test-function CLTs for other canonical random spatial networks, including $k$-nearest neighbor graphs and relative neighborhood graphs. Our results open new avenues for the study of spectral fluctuations in spatially embedded random structures and underscore the delicate interplay between geometry, local dependence, and spectral behavior.

研究动机与目标

• 对空间嵌入随机图的谱分析进行动机说明，并理解几何约束下的特征值波动。
• 建立随机几何图邻接矩阵A_n 的 Tr[f(A_n)] 的CLT，其中 f 是广义测试函数族。
• 为多项式测试函数给出Wasserstein距离的定量收敛速率。
• 将多项式测试函数的CLT扩展到其他空间网络，如k最近邻图和相对邻域图。

提出的方法

• 使用 Malliavin–Stein 方法，通过矩阵幂的迹和分数函数表示导出多项式测试函数的CLT。
• 将 L_n(f)=Tr[f(A_n)] 表示为关于泊松点过程的分数 g_f 的和，从而进行方差及高阶矩分析。
• 通过稳定化和 Mecke 公式建立方差渐近性及有限的极限方差。
• 应用 Malliavin–Stein 的定量框架，得到多项式的 Wasserstein 距离界。
• 通过适合空间相关性的傅里叶分析近似策略，将对一般平滑（非多项式）测试函数的扩展纳入。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机几何图的线性特征统计是否对广义测试函数族满足CLT？
• RQ2 在RGG设定下，是否能得到带显式收敛速率的多项式测试函数的定量CLT？
• RQ3 对其他空间网络如k最近邻图和相对邻域图，是否也成立多项式测试函数的CLT？
• RQ4 稀疏极限下方差渐近性及确保非退化高斯极限的条件是什么？
• RQ5 几何引致的依赖如何影响从多项式到一般测试函数的推广？

主要发现

• 已建立对 Tr[f(A_n)] 的CLT，当 f 为广义的两次弱可微且满足带权 Sobolev 条件（带 sech(cx) 权重）。
• 存在有限方差 σ_f^2，使得 (Tr[f(A_n)]−E Tr[f(A_n)])/√n 收敛于 N(0, σ_f^2)。
• 对于多项式 f，极限方差 σ_f^2 存在，且若 σ_f^2>0，则与高斯分布的 Wasserstein 距离被界于 C/√n。
• 若所有多项式系数为非负，除非多项式恒为零外，极限方差为正。
• 研究同样给出对 k近邻图和相对邻域图的多项式测试函数CLT。
• 该方法将 Malliavin–Stein 的多项式函数CLT 与对一般测试函数在空间依赖下的傅里叶分析扩展相结合。