[论文解读] Central limit theorem for statistics of subcritical configuration models

Siva Athreya, D. Yogeshwaran|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 27被引用 5

一句话总结

该论文在温和的矩条件和方差条件下，为次临界配置随机图中的可加统计量建立了中心极限定理（CLT）。通过边探索过程构建一个鞅差数组，并应用McLeish的鞅数组中心极限定理，作者证明了当度序列满足线性增长条件，且统计量具有有下界方差和有限四阶矩时，其渐近正态性成立。

ABSTRACT

We consider sub-critical configuration models and show that the central limit theorem for any additive statistic holds when the statistics satisfies a fourth moment assumption, a variance lower bound and the degree sequence of graph satisfies a growth condition. If the degree sequence is bounded, for well known statistics like component counts, log-partition function, and maximum cut-size which are Lipschitz under addition of an edge or switchings then the assumptions reduce to linear growth condition for the variance of the statistic. Our proof is based on an application of the central limit theorem for martingale-difference arrays due to Mcleish (1974) to a suitable exploration process.

研究动机与目标

• 为次临界配置随机图中的可加统计量建立中心极限定理。
• 确定渐近正态性成立的最小矩条件和方差条件。
• 将CLT结果从Erdős–Rényi模型扩展到具有给定度序列的更一般的稀疏随机图模型。
• 提供一个适用于已知图统计量（如连通分量数、对数分区函数和最大割大小）的一般性框架。
• 证明对于有界度序列，CLT可简化为验证统计量方差的线性增长条件。

提出的方法

• 通过使用总度为偶数的给定度序列，利用配置模型生成随机图。
• 采用边探索过程生成一个过滤，并基于统计量的增量变化定义一个鞅差数组。
• 应用McLeish的鞅差数组中心极限定理，以建立收敛到正态分布的结果。
• 对度序列（增长条件）和统计量（四阶矩、方差下界）施加条件，以确保渐近正态性。
• 利用柯西-施瓦茨不等式和协方差衰减论证，控制鞅差项的方差。
• 依赖于次临界性，以确保探索过程中依赖关系的快速解耦，从而保证CLT成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，次临界配置模型中可加统计量的中心极限定理成立？
• RQ2 统计量的矩条件和方差条件如何与度序列的增长相互作用，以确保渐近正态性？
• RQ3 是否可在次临界状态下为已知图统计量（如连通分量数和最大割大小）建立中心极限定理？
• RQ4 边探索过程在构建适用于CLT的合适鞅差数组中起什么作用？
• RQ5 该框架在多大程度上可推广到具有类似基于匹配构造的其他随机图模型？

主要发现

• 若统计量具有有限四阶矩、有下界方差，且度序列满足线性增长条件，则次临界配置模型中任意可加统计量的中心极限定理成立。
• 对于有界度序列，CLT可简化为验证统计量方差的线性增长条件。
• 该证明依赖于通过边探索过程构建鞅差数组，并应用McLeish的鞅数组中心极限定理。
• 作者证明了鞅差平方和在L1范数下收敛于1，这是CLT成立的关键条件。
• 该方法具有鲁棒性，可推广至其他具有类似基于匹配构造的模型，只要其满足独立性和解耦性质。
• 该框架适用于具体的统计量，如连通分量数、对数分区函数和最大割大小，这些统计量在边添加或交换下是Lipschitz连续的。