[论文解读] Central Limit Theorems for Open Quantum Random Walks and Quantum Measurement Records

Stéphane Attal, Nadine Guillotin‐Plantard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 9

一句话总结

本文建立了在 $\pi^d$ 上的开放量子随机游走（OQRWs）的中心极限定理（CLT），证明在适当条件下——特别是当转移矩阵为分块对角且每个通道具有唯一不变态时——位置过程收敛于具有显式漂移和协方差矩阵的高斯分布。该结果通过量子轨迹方法推导，将系统视为位置空间与量子态结合的马尔可夫链，并进一步推广至通过完全正映射关联的量子测量记录。

ABSTRACT

Open Quantum Random Walks, as developed in \\cite{APSS}, are a quantum generalization of Markov chains on finite graphs or on lattices. These random walks are typically quantum in their behavior, step by step, but they seem to show up a rather classical asymptotic behavior, as opposed to the quantum random walks usually considered in Quantum Information Theory (such as the well-known Hadamard random walk). Typically, in the case of Open Quantum Random Walks on lattices, their distribution seems to always converge to a Gaussian distribution or a mixture of Gaussian distributions. In the case of nearest neighbors homogeneous Open Quantum Random Walks on $\\ZZ^d$ we prove such a Central Limit Theorem, in the case where only one Gaussian distribution appears in the limit. Through the quantum trajectory point of view on quantum master equations, we transform the problem into studying a certain functional of a Markov chain on $\\ZZ^d$ times the Banach space of quantum states. The main difficulty is that we know nothing about the invariant measures of this Markov chain, even their existence. Surprisingly enough, we are able to produce a Central Limit Theorem with explicit drift and explicit covariance matrix. The interesting point which appears with our construction and result is that it applies actually to a wider setup: it provides a Central Limit Theorem for the sequence of recordings of the quantum trajectories associated to any completely positive map. This is what we show and develop as an application of our result. In a second step we are able to extend our Central Limit Theorem to the case of several asymptotic Gaussians, in the case where the operator coefficients of the quantum walk are block-diagonal in a common basis.

研究动机与目标

• 在确保唯一极限高斯分布的条件下，为 $\mathbb{Z}^d$ 上的最近邻、齐次开放量子随机游走建立中心极限定理。
• 尽管底层马尔可夫链的不变测度未知，仍显式计算极限高斯分布的漂移与协方差矩阵。
• 通过量子轨迹框架，将CLT扩展至任意完全正映射关联的量子测量记录。
• 分析当转移算子在共同基下为分块对角时的多个渐近高斯分布情形，表明极限过程是OQRW律的混合。
• 证明量子轨迹几乎必然收敛至若干不同渐近行为之一，每一行为对应一个不同的不变态及其关联的高斯极限。

提出的方法

• 将OQRWs建模为 $\mathbb{Z}^d \times \mathcal{S}(\mathcal{H})$ 上的马尔可夫过程，其中 $\mathcal{S}(\mathcal{H})$ 为量子态空间，转移由完全正映射控制。
• 利用量子轨迹形式化方法，将演化表示为基于测量结果的随机过程，将动力学与 $\mathbb{Z}^d \times \mathcal{S}(\mathcal{H})$ 上的马尔可夫链联系起来。
• 应用量子测量的大数定律（定理6.2），证明经验跳跃频率以几乎必然收敛于不变态下的期望值。
• 在假设(H3)下证明不同不变态关联测度的奇异性质，确保仅一种渐近行为以几乎必然性占主导。
• 在条件测度 $\mathbb{P}_\rho[\cdot \mid p_\infty^{(j)} = 1]$ 下，利用关联量子轨迹链的CLT，证明 $\frac{X_n - n m^{(j)}}{\sqrt{n}}$ 的分布收敛于 $\mathcal{N}(0, C^{(j)})$。
• 通过证明该过程是若干OQRW律的混合，每个具有独立的漂移 $m^{(j)}$ 与协方差 $C^{(j)}$，混合权重为 $p_0^{(j)}$，将结果推广至分块对角情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$\mathbb{Z}^d$ 上的开放量子随机游走会在长时间极限下收敛于高斯分布？
• RQ2 即使底层马尔可夫链的不变测度未知，是否仍能显式计算极限高斯分布的漂移与协方差矩阵？
• RQ3 量子轨迹形式化方法如何在缺乏不变测度知识的情况下，实现对OQRWs的CLT推导？
• RQ4 当存在多个渐近高斯分布时，混合权重由什么决定？哪一成分主导极限行为？
• RQ5 该框架在多大程度上可推广至任意完全正映射关联的量子测量记录？

主要发现

• 对于 $\mathbb{Z}^d$ 上的齐次、最近邻OQRWs，位置过程 $X_n$ 满足中心极限定理：$\frac{X_n - n m}{\sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, C)$，其中 $m$ 与 $C$ 可由转移矩阵显式计算。
• 漂移向量 $m^{(j)}$ 由 $m_k^{(j)} = \mathop{\rm Tr\,}(A_k \rho_\infty^{(j)} A_k^*)$ 给出，其中 $\rho_\infty^{(j)}$ 为通道 $\mathcal{L}^{(j)}$ 的唯一不变态。
• 协方差矩阵 $C^{(j)}$ 通过类似于定理5.2的公式计算，基于不变态下跳跃算子的二阶矩。
• 当转移矩阵在共同基下为分块对角时，极限分布为高斯分布的混合，每一成分对应一个不同的不变态。
• 该过程以几乎必然性收敛至 $N$ 种可能渐近行为之一，且 $\mathbb{P}_\rho(p_\infty^{(j)} = 1) = p_0^{(j)}$，条件分布 $p_\infty^{(j)} = 1$ 对应第 $j$ 个通道的量子轨迹。
• 该结果不仅适用于OQRWs，还为任意具有完全正映射的量子主方程中的测量记录序列提供了中心极限定理，通过量子轨迹框架实现。