[论文解读] Central Lyapunov exponent of partially hyperbolic diffeomorphisms of $\mathbb{T}^3$

Gabriel Ponce, Ali Tahzibi|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文在3维环面 𝕋³ 上构造了体积保持的、部分双曲微分同胚，其同伦于Anosov映射，却表现出一种悖论性行为：尽管线性化（即Anosov映射）的中心方向是收缩的，其中心李雅普诺夫指数却在几乎处处为正。作者通过使用一列线性Anosov映射（其特征值趋近于0、1和∞），并应用Baraviera-Bonatti的局部C¹扰动技术，构造出非一致双曲动力系统，其中中心扩张与线性化系统的收缩相矛盾，从而揭示了局部李雅普诺夫指数与全局拓扑之间的根本脱节。

ABSTRACT

In this paper we construct some "pathological" volume preserving partially hyperbolic diffeomorphisms on $ oro{3}$ such that their behaviour in small scales in the central direction (Lyapunov exponent) is opposite to the behavior of their linearization. These examples are isotopic to Anosov. We also get partially hyperbolic diffeomorphisms isotopic to Anosov (consequently with non-compact central leaves) with zero central Lyapunov exponent at almost every point.

研究动机与目标

• 研究非线性部分双曲微分同胚在 𝕋³ 上的中心李雅普诺夫指数与其线性化之间的差异。
• 构造体积保持的部分双曲微分同胚，其同伦于Anosov映射，且中心李雅普诺夫指数为正，尽管其线性化具有收缩的中心丛。
• 探讨中心李雅普诺夫指数为零时的拓扑含义，特别是中心叶的紧致性问题。
• 研究当中心指数为零时，中心叶的绝对连续性所起的作用。

提出的方法

• 使用一列在 𝕋³ 上的线性Anosov微分同胚，其特征值满足 λᵏˢ → 0，λᵏᶜ → 1，λᵏᵘ → ∞，且对应的特征向量收敛于一个固定的标准正交基。
• 应用Baraviera-Bonatti的局部C¹扰动方法，对线性映射进行修改，构造出新的部分双曲微分同胚，使其平均中心李雅普诺夫指数为正。
• 利用连续性论证，寻找中心李雅普诺夫指数积分为零的微分同胚，从而导致几乎处处指数为零。
• 利用Hammerlindl与Ures的一个结果：若同伦于Anosov的微分同胚在中心指数为零时非遍历，则其必为非遍历。
• 通过适配范数构造不变锥族，并证明在小C¹范数下，扰动保持绝对部分双曲性条件。
• 通过验证锥场中扩张与收缩的均匀性及受控畸变，证明扰动后的微分同胚保持绝对部分双曲性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在体积保持的部分双曲微分同胚在 𝕋³ 上，其同伦于Anosov映射，但中心李雅普诺夫指数为正，与线性化系统的收缩行为相悖？
• RQ2 在 𝕋³ 上的部分双曲系统中，中心叶的拓扑（紧致 vs. 非紧致）与中心李雅普诺夫指数之间存在何种关系？
• RQ3 若部分双曲微分同胚的中心李雅普诺夫指数为零且中心叶非紧致，其中心叶是否必然不绝对连续？
• RQ4 当中心李雅普诺夫指数几乎处处为零时，中心叶的绝对连续性是否蕴含叶的紧致性？
• RQ5 能否构造出非遍历、体积保持、同伦于Anosov的 𝕋³ 上微分同胚，其具有零中心李雅普诺夫指数？

主要发现

• 存在一个在 𝕋³ 上的体积保持部分双曲微分同胚的开集，使得几乎所有点的中心李雅普诺夫指数为正，尽管其线性化是具有收缩中心丛的Anosov映射。
• 所构造的微分同胚同伦于Anosov映射，且其在中心方向的渐近增长方向与线性化系统相反。
• 构造出中心李雅普诺夫指数几乎处处为零且中心叶非紧致的例子，揭示了其与线性化系统的拓扑差异。
• 零指数例子的遍历性仍为开放问题，尽管通过连续性论证及Hammerlindl与Ures的结果已确立其平均指数为零。
• 零指数例子的中心叶被推测为非绝对连续，尽管尚未得到证明。
• 扰动方法确保所得到的微分同胚保持绝对部分双曲性，且在小C¹扰动下不变锥结构得以保持。