[论文解读] Chaos and Scrambling in Quantum Small Worlds

Jean-Gabriel Keiser Hartmann, Murugan, Jeff+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Neural Networks and Reservoir Computing被引用 6

一句话总结

本文通过随机重连方式逐步引入长程相互作用，对自旋-1/2海森堡链进行微扰，构建了一种量子小世界模型，利用时间有序关联函数（OTOC）和谱形式因子（SFF）探测量子信息的杂乱化。尽管存在快速非局域化和类似量子混沌的SFF行为，系统并未表现出任何量子混沌的迹象，表明小世界拓扑结构本身并不能在小型稀疏量子系统中诱导混沌动力学。

ABSTRACT

Quantum small-worlds are quantum many-body systems that interpolate between completely ordered (nearest-neighbour, next-to-nearest-neighbour etc.) and completely random interactions. As such, they furnish a novel new laboratory to study quantum systems transitioning between regular and chaotic behaviour. In this article, we introduce the idea of a quantum small-world network by starting from a well understood integrable system, a spin-1 Heisenberg chain. We then inject a small number of long-range interactions into the spin chain and study its ability to scramble quantum information using two primary devices: the out-of-time-order correlator (OTOC) and the spectral form factor (SFF). We find that the system shows increasingly rapid scrambling as its interactions become progressively more random, with no evidence of quantum chaos.

研究动机与目标

• 研究在有序与随机相互作用之间插值的系统中，量子混沌的出现机制。
• 理解在可调随机性与小世界拓扑的量子网络中，量子信息杂乱化的演化过程。
• 通过OTOC和SFF作为诊断工具，检验小世界连接性是否足以引发量子混沌。
• 探索标准混沌诊断方法在具有稀疏相互作用的小型有限量子系统中的局限性。
• 建立一个可控的量子模型，用于研究多体系统中从可积性到混沌的相变过程。

提出的方法

• 从具有近邻相互作用的1维自旋-1/2海森堡链出发，构建量子小世界网络。
• 通过以概率 $ p $ 随机重连边的方式引入长程耦合，同时保持总边数不变。
• 使用精确对角化方法计算时间有序关联函数（OTOC）$ F(t) $ 及其与对易子 $ C(t) $ 的关系。
• 计算谱形式因子（SFF）$ g(t,\beta) $，以探测能级统计特性，并区分可积与混沌行为。
• 采用其他网络度量如 $ \sigma = \gamma / \lambda $ 和 $ \omega = L_{\text{rand}}/L - C/C_{\text{latt}} $，以在 $ p $ 之外参数化小世界特性。
• 在无限温度极限下分析系统，以简化热平均，有限温度扩展留待未来工作。

实验结果

研究问题

• RQ1 在规则自旋链中引入长程随机相互作用后，是否如OTOC增长所测度的那样，会引发量子混沌？
• RQ2 随着网络随机性的增加，OTOC行为如何演化？其是否表现出混沌所特有的指数增长？
• RQ3 谱形式因子（SFF）是否展现出量子混沌系统特有的“下凹-线性-上升-平台”结构？
• RQ4 在有限 $ N $ 且长程耦合受限的小型稀疏量子系统中，标准混沌诊断方法失效的程度如何？
• RQ5 与重连概率 $ p $ 相比，$ \sigma $ 或 $ \omega $ 等替代网络参数是否能更有效地表征从规则到混沌动力学的转变？

主要发现

• OTOC在早期呈现多项式增长，且在后期迅速趋近于 $ C_{ij}(t) = 2 $，表明信息快速非局域化，但无指数增长。
• 尽管存在快速非局域化，OTOC未表现出指数增长，因此也未观测到量子李雅普诺夫指数，表明系统中不存在量子混沌。
• 谱形式因子（SFF）表现出类似量子混沌的“下凹-线性-上升-平台”结构，但平台起始点不随系统尺寸 $ N $ 缩放，暗示其行为并非混沌。
• SFF行为更符合随机但可积的SYK模型，而非真正的量子混沌系统，尤其在有限 $ N $ 区域。
• 重连概率 $ p $ 在小型系统中作为小世界特性表征参数效果较差；而 $ \sigma $ 和 $ \omega $ 等替代度量更为有效。
• 即使在显著长程耦合下，系统仍保持非混沌状态，表明小世界拓扑结构本身不足以在小型稀疏量子系统中诱导量子混沌。