[论文解读] Characteristic Classes for GO(2n,C)

Yogish I. Holla, Nitin Nitsure|ArXiv.org|Mar 24, 2000

Coding theory and cryptography参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文通过 $BO(2n)$ 上的 $\mathbb{C}^*$-作用所关联的导子，显式确定了 $BGO(2n)$ 的模 2 奇异上同调环，利用 Gysin 序列与 Koszul 复形技术推导出生成元与关系式。关键结果是以 Stiefel-Whitney 类与新特征类表示的 $H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 的完整呈现，并给出了从 $BGL(2n)$ 提升的 Chern 类在该环中的显式公式。

ABSTRACT

The complex Lie group GO(2n,C) by definition consists of all complex matrices A of size 2n, such that A times transpose(A) is a non-zero scalar. In this paper we determine explicitly the singular cohomology ring of the classifying space BGO(2n,C) with mod 2 coefficients, in terms of generators and relations. The method consists of analysing a certain derivation on the cohomology ring of BO(2n) (which is a polynomial ring in the Stiefel-Whitney classes) via a Koszul complex, and using this to `solve' the Gysin sequence for the bundle BO(2n) over BGO(2n,C).

研究动机与目标

• 显式地以生成元与关系式确定 $H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 的模 2 上同调环。
• 理解 $\mathbb{C}^*$ 在 $BO(2n)$ 上的作用及其在上同调上诱导的导子，将其与主 $\mathbb{C}^*$-丛的 Gysin 序列联系起来。
• 计算包含映射 $GO(2n) \hookrightarrow GL(2n)$ 下，从 $H^*(BGL(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 提升的 Chern 类在 $H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 中的像。
• 通过正则序列与 Koszul 复形技术，代数求解多项式环上一个分次导子 $s = \sum u_i \partial / \partial v_i$ 的核问题。

提出的方法

• 对任意空间上的 $\mathbb{C}^*$-作用，函子性地关联一个次数为 $-1$ 的导子 $s$，其定义为 $\mu^* - p^* = \eta \otimes s$，其中 $\eta$ 生成 $H^1(\mathbb{C}^*; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$。
• 将 $H^*(BO(2n))$ 上的导子识别为 $s = \sum_{i=1}^n w_{2i-1} \partial / \partial w_{2i}$，其中 $w_i$ 为模 2 的 Stiefel-Whitney 类。
• 利用主 $\mathbb{C}^*$-丛 $BO(2n) \to BGO(2n)$ 的 Gysin 长正合序列，通过 $s = \pi^* \circ d$ 将 $s$ 与边界映射 $d$ 关联起来。
• 使用正则序列与 Koszul 复形技术，求解多项式环 $k[w_1, \dots, w_{2n}]$ 中的核问题 $\ker(s)$，从而识别不变子环 $B = \ker(s)$。
• 通过利用 $\ker(s)$ 与 $\operatorname{im}(s)$ 的结构，求解 Gysin 序列，构造 $H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 的生成元与关系式。
• 通过使用 $n+1$ 个 $\mathbb{P}^\infty$ 的通用例子，计算 Chern 类的像，借助 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[\lambda^2]$ 中的矩阵求逆得到显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以生成元与关系式完整呈现 $H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$？
• RQ2 $\mathbb{C}^*$-作用在 $BO(2n)$ 上如何诱导其上同调上的导子？该导子与 Gysin 序列有何关联？
• RQ3 模 2 Chern 类 $\overline{c}_i$ 从 $H^*(BGL(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 在 $H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 中的像是什么？
• RQ4 如何使用 Koszul 复形代数计算多项式环 $k[u_1,\dots,u_n,v_1,\dots,v_n]$ 上导子 $s = \sum u_i \partial / \partial v_i$ 的核？
• RQ5 能否通过 Gysin 序列与导子 $s$ 的导出结构重建 $BGO(2n)$ 的上同调？

主要发现

• 上同调环 $H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 由类 $\lambda$、$a_{2i-1}$、$d_T$ 与 $b_{4j}$ 生成，其关系式由导子 $s$ 的核导出。
• 不变子环 $\ker(s) \subset H^*(BO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 同构于 $k[u_1,\dots,u_n, v_1^2,\dots,v_n^2]$，且 $BGO(2n)$ 的上同调同构于该环模 $s$ 的像。
• $\overline{c}_1$ 在 $H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 中的像是 $a_1^2 + n\lambda$，其中 $n$ 为秩，$\lambda$ 为 $\mathbb{C}^*$ 的 Euler 类。
• $\overline{c}_3$ 的像是 $a_3^2 + \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}\lambda^3 + (n-1)\lambda b_4$，对 $n \geq 2$ 成立。
• $H^*(BO(2n))$ 上的导子 $s$ 显式给出为 $s = \sum_{i=1}^n w_{2i-1} \partial / \partial w_{2i}$，其核通过 Koszul 复形技术计算。
• $H^*(BGL(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \to H^*(BGO(2n); \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 的环同态被完全描述，$\overline{c}_{2r}$ 与 $\overline{c}_{2r-1}$ 的像以 $\lambda$、$b_{4j}$ 与 $a_{2i-1}$ 的多项式形式表达。