[论文解读] Characteristic classes in the Chow ring

Dan Edidin, W. Graham|ArXiv.org|Dec 10, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 65

一句话总结

本文通过证明：在与 ℚ 取张量积后，对于半单群 G 的主 G-丛，其代数特征类环同构于其极大环面的 cocharacter 格的对称代数的 Weyl-不变部分，从而刻画了代数特征类。关键结果表明，所有有理特征类均来自相关向量丛的陈类，解决了关于拓扑类的代数性以及非拓扑代数类存在的长期疑问。

ABSTRACT

We study the ring of characteristic classes with values in the Chow ring for principal $G$-bundles over schemes. If we consider bundles which are locally trivial in the Zariski topology, then we show, for $G$ reductive, that this ring is isomorphic to the Weyl group invariants in the algebra generated by characters of the maximal torus. For general principal bundles the same isomorphism holds after tensoring the coefficients with ${\Bbb Q}$. As a corollary, we show that any (non-torsion) topological characteristic class is algebraic when applied to Zariski locally trivial bundles over complex algebraic varieties.

研究动机与目标

• 确定代数特征类环在概形上的主 G-丛的结构。
• 回答是否存在不来自拓扑类的代数特征类。
• 澄清代数与拓扑特征类之间的关系，特别是针对非特殊群的情形。
• 在 cocharacter 格的 Weyl-不变对称代数与特征类环之间建立精确同构。

提出的方法

• 定义两个环：𝒞(G) 表示 étale-局部平凡的 G-丛，𝒞Zar(G) 表示 Zariski-局部平凡的丛。
• 通过极大环面 T 的特征对应的线丛，构造映射 ΦE: S(𝕋̂) → A*(E/B)。
• 证明 S(𝕋̂) 中的 Weyl-不变多项式通过从 E/B 到 X 的拉回，可产生特征类。
• 利用 G/B 的胞腔分解，通过 Leray-Hirsch 类型论证，证明纤维积上 π₁*p = π₂*p，从而推出拉回不变性。
• 通过 Vistoli 的结果与 Borel 定理，应用有理上同调比较，推导出与 H*(BG, ℚ) 的有理同构。
• 利用基变换及仿射与完备局部平凡纤维丛上拉回的单射性，建立特征类映射的单射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有代数特征类是否都是相关向量丛的陈类的有理线性组合？
• RQ2 是否存在不来自拓扑特征类的代数特征类？
• RQ3 Zariski-局部平凡 G-丛的特征类环是否同构于 cocharacter 格的 Weyl-不变对称代数？
• RQ4 能否用 G 的表示来描述取值于 A*(X; ℤ) 的特征类环？
• RQ5 对于非特殊群，𝒞(G) 与 𝒞Zar(G) 的环关系如何比较？

主要发现

• étale-局部平凡 G-丛的有理特征类环同构于 S(𝕋̂)W ⊗ ℚ。
• Zariski-局部平凡 G-丛的有理特征类环同构于 S(𝕋̂)W ⊗ ℚ。
• 所有有理特征类均来自相关向量丛的陈类，解决了 Vistoli 提出的问题。
• 对于 GL(n)、Sp(2n) 和 SO(2n+1)，环 𝒞Zar(G) 同构于 ℤ[t₁,…,tn]，其中 ti 为标准表示的陈类。
• SO(2n) 的欧拉类是 𝒞Zar(G) 中唯一不能表示为相关丛陈类多项式的形式，但可通过其他方式构造。
• 环 𝒞Zar(G; ℤ/2ℤ) 不同构于 𝒞Zar(G) ⊗ ℤ/2ℤ，表明系数取自环的特征类未必能直接推广。