[论文解读] Characteristic cycle and the Euler number of a constructible sheaf on a surface

Takeshi Saito|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文通过Radon变换和分歧理论，在余切丛中定义了光滑曲面上可构造层的特征循环，证明其与零截面的交数等于欧拉示性数，且与纤维化截面的交数计算孤立特征点处邻近上同调的总维数。该构造不依赖于射影嵌入，并在指定条件下与先前定义一致。

ABSTRACT

We define the characteristic cycle of a constructible sheaf on a smooth surface in the cotangent bundle. We prove that the intersection number with the 0-section equals the Euler number and that the total dimension of vanishing cycles at an isolated characteristic point is also computed as an intersection number.

研究动机与目标

• 在余切丛中定义光滑曲面上可构造层的特征循环，推广先前的构造。
• 证明特征循环与零截面的交数等于该层的欧拉数。
• 证明特征循环与由到曲线的纤维化定义的截面的交数，等于孤立特征点处邻近上同调的总维数。
• 通过形变与稳定性论证，证明特征循环不依赖于射影嵌入的选择。
• 在两者均有定义时，证明新定义与[24]中的定义等价。

提出的方法

• 以Radon变换为核心工具定义特征循环，依赖于[24]中的分歧理论。
• 采用受[9]和[8]启发的形变论证，证明其不依赖于射影嵌入。
• 运用Elkik对Hensel引理的推广，证明邻近上同调在纤维化的小形变下保持稳定。
• 两次应用Grothendieck-Ogg-Shafarevich公式，将欧拉示性数与交数关联。
• 应用Deligne与Laumon [19] 关于邻近上同调维数公式的结论，将循环交数与局部不变量联系起来。
• 利用有限覆盖消除除一个分支外的所有分歧，证明数值等价于零意味着平凡性。

实验结果

研究问题

• RQ1 可构造层在光滑曲面上的特征循环能否以内在方式定义，而不依赖于射影嵌入？
• RQ2 特征循环与零截面的交数是否等于该层的欧拉示性数？
• RQ3 与由曲线上非零微分形式定义的截面的交数是否等于孤立特征点处邻近上同调的总维数？
• RQ4 新定义的特征循环与[24]中的定义有何关系？
• RQ5 能否在不施加如非可乘分歧等限制性假设的前提下，通过Radon变换与分歧理论计算特征循环？

主要发现

• 通过Radon变换与分歧理论定义的特征循环，不依赖于射影嵌入的选择。
• 特征循环与零截面的交数等于该层的欧拉数，如定理3.18所证明。
• 特征循环与由纤维化到曲线定义的截面的交数，计算了孤立特征点处邻近上同调的总维数，如定理3.16所示。
• 当两者均有定义时，本文定义的特征循环与[24, 定义3.5]中的定义一致，如命题3.19所确立。
• 两种特征循环定义之间的差异由一个数值等价于零的除子控制，通过有限覆盖证明该除子为零。
• 该方法证明了邻近上同调在纤维化的小形变下的稳定性，依赖于Elkik定理与邻近上同调的维数公式。