[论文解读] Characteristic foliation on non-uniruled smooth divisors on hyperkaehler manifolds

Ekaterina Amerik, Frédéric Campana|arXiv (Cornell University)|May 2, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文分类了在复辛流形 $X$ 中光滑除子 $D$ 上的特征叶状结构何时为代数叶状结构，证明了当叶状结构具有非有理叶时，仅当 $X$ 是一个辛曲面与另一辛流形的积，且 $D$ 是该曲面上曲线的拉回时才可能发生。关键洞见在于叶族的轨道化基的 canonical 类为平凡，这意味着纤维化是等轨型的，从而限制了 $D$ 的几何结构。

ABSTRACT

We prove that the characteristic foliation $F$ on a non-singular divisor $D$ in an irreducible projective hyperkaehler manifold $X$ cannot be algebraic, unless the leaves of $F$ are rational curves or $X$ is a surface. More generally, we show that if $X$ is an arbitrary projective manifold carrying a holomorphic symplectic $2$-form, and $D$ and $F$ are as above, then $F$ can be algebraic with non-rational leaves only when, up to a finite étale cover, $X$ is the product of a symplectic projective manifold $Y$ with a symplectic surface and $D$ is the pull-back of a curve on this surface. When $D$ is of general type, the fact that $F$ cannot be algebraic unless $X$ is a surface was proved by Hwang and Viehweg. The main new ingredient for our results is the observation that the canonical bundle of the (apriori, orbifold; but the orbifold structure is actually trivial) base of the family of leaves must be torsion. This implies, in particular, the isotriviality of the family of leaves of $F$. We also make some remarks in the Kähler case and apply this to the Lagrangian conjecture in the last section.

研究动机与目标

• 分类复辛流形 $X$ 中光滑除子 $D$ 上的特征叶状结构何时为代数叶状结构。
• 当叶状结构的叶具有亏格 $g > 0$ 时，确定 $X$ 和 $D$ 的几何结构。
• 将 Hwang 和 Viehweg 关于一般型除子的结果推广到更广泛的非单有理除子情形。
• 证明叶状结构叶族的轨道化基的 canonical 类为平凡，从而推出纤维化的等轨型性质。

提出的方法

• 通过限制复辛形式 $\sigma|_D$ 的核定义光滑除子 $D$ 上的特征叶状结构 $\mathcal{F}$，其为一个秩一叶状结构。
• 利用 $D$ 上处处非零的 $(d-1)$-形式 $\omega = \sigma^{\wedge(n-1)}$ 定义叶状结构的代数性质。
• 分析与代数叶状结构 $\mathcal{F}$ 关联的纤维化 $f: D \to B$，证明其为等轨型且在 codimension 一 中无重纤维。
• 利用辛结构与叶状结构的几何性质，证明轨道化基 $B$ 的 canonical 类 $K_B$ 为平凡。
• 应用 Albanese 映射与形变理论分析 Iitaka 纤维化的纤维 $F$，证明 $F$ 要么是环面，要么具有 $n-1$ 的 Albanese 维数，从而对叶状结构施加约束。
• 利用邻接公式以及 $K_D$ 为 nef 且丰富的事实，推导出当 $K_D$ 数值平凡时，叶必须为椭圆曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 在复辛流形 $X$ 中的光滑除子 $D$ 上，特征叶状结构何时为代数叶状结构？
• RQ2 当特征叶状结构的叶为非有理曲线时，其成立的条件是什么？这又对 $X$ 和 $D$ 的几何结构意味着什么？
• RQ3 特征叶状结构叶族的基的结构是怎样的？其 canonical 类具有哪些性质？
• RQ4 叶族的等轨型性质如何限制 $D$ 上可能的形变与纤维化？
• RQ5 当 $K_D$ 为半ample 时，$\mathcal{O}_X(D)$ 的半ample 性质有何含义？

主要发现

• 在复辛流形 $X$ 中的光滑除子 $D$ 上，特征叶状结构 $\mathcal{F}$ 不可能是代数叶状结构且具有非有理叶，除非 $X$ 是曲面，或在有限 étale 覛盖后同构于一个辛曲面与另一辛流形的积。
• 若 $D$ 非单有理且 $\mathcal{F}$ 为代数叶状结构且亏格 $g > 0$，则 $X$ 在有限 étale 覛盖后同构于 $S \times Y$，其中 $S$ 为辛曲面，$D = C \times Y$，$C \subset S$ 为曲线，且叶状结构为 $S$ 上纤维化的拉回。
• 叶族轨道化基 $B$ 的 canonical 类 $K_B$ 为平凡，这蕴含纤维化 $f: D \to B$ 为等轨型。
• 当 $K_D$ 为半ample 时，$\mathcal{O}_X(D)$ 为半ample，且该结论在维度 $2n-1$ 下成立，该情形在维度 3 时已知成立（Abundance 猜想）。
• 对于维度为 4 的不可约双凯勒流形 $X$，若 $D$ 为光滑有效 nef 除子，则 $\mathcal{O}_X(D)$ 为半ample，从而在该情形下证实了拉格朗日猜想。
• 叶状结构 $\mathcal{F}$ 的叶要么是有理曲线，要么是椭圆曲线；特别地，当 $K_D$ 数值平凡且 $F$ 为 Iitaka 纤维化的纤维时，$F$ 必为环面或具有 $n-1$ 的 Albanese 维数，且叶为椭圆曲线。