[论文解读] Characterization for entropy of shifts of finite type on Cayley trees

Jung‐Chao Ban, Chih-Hung Chang|arXiv (Cornell University)|May 9, 2017

Cellular Automata and Applications参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文提出了一种算法，用于计算在Cayley树上定义的有限型树移位（TSFTs）的拓扑熵，表明此类熵的形式为$\frac{1}{p}\ln\lambda$，其中$\lambda$为Perron数，$p \in \mathbb{N}$。该方法依赖于从约化非线性递归方程系统（SNREs）导出的邻接矩阵的谱半径，将Lind对一维SFT熵的刻画推广至树移位情形。

ABSTRACT

The notion of tree-shifts constitutes an intermediate class in between one-sided shift spaces and multidimensional ones. This paper proposes an algorithm for computing of the entropy of a tree-shift of finite type. Meanwhile, the entropy of a tree-shift of finite type is $\dfrac{1}{p} \ln λ$ for some $p \in \mathbb{N}$, where $λ$ is a Perron number. This extends Lind's work on one-dimensional shifts of finite type. As an application, the entropy minimality problem is investigated, and we obtain the necessary and sufficient condition for a tree-shift of finite type being entropy minimal with some additional conditions.

研究动机与目标

• 开发Cayley树上有限型树移位（TSFTs）拓扑熵的可计算刻画。
• 将基于Perron数的一维SFT熵的Lind刻画推广至树移位这一中间类。
• 建立一种通过约化非线性递归方程系统（SNREs）计算TSFT熵的算法方法。
• 在附加结构条件下研究TSFT熵的最小性问题。
• 证明所有形如$\frac{1}{p}\ln\lambda$的数（其中$\lambda$为Perron数）均可作为某类TSFT的熵被实现。

提出的方法

• TSFT的熵通过其关联系统$F$所导出的所有约化SNREs$E$的$\ln\lambda_{M_E}$的最大值来计算。
• 系统$F$被建模为一组非线性递归方程$F^{(k+1)} = (a_{n-1}^{(k+1)})^d$，其中$d$为Cayley树的度数。
• 通过在词典序下识别极小元，构建约化SNRE$E$，以确保熵由子系统捕获。
• 邻接矩阵$M_E$由约化SNRE的转移规则构成，具有分块结构$\begin{pmatrix} M & U \\ 0 & d \end{pmatrix}$，其中$U$编码分支约束。
• 矩阵$M_E$的谱半径$\lambda_{M_E}$通过$h(X) = \ln\lambda_{M_E}$确定熵，而总熵为所有此类$M_E$的$\ln\lambda_{M_E}$的最大值。
• 提供了一种构造性方法，通过从SNRE结构定义禁止集$\mathcal{F}$，构建具有给定熵$\frac{1}{p}\ln\lambda$的TSFT$X = \mathsf{X}_\mathcal{F}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Cayley树上有限型树移位的拓扑熵具有何种代数刻画？
• RQ2 TSFT的熵能否被算法化计算？若能，其方法为何？
• RQ3 TSFT熵的类是否包含所有Perron数对数的有理倍数？
• RQ4 在何种条件下TSFT熵是最小的？其特征如何刻画？
• RQ5 所有形如$\frac{1}{p}\ln\lambda$（其中$\lambda$为Perron数）的数是否都能作为某TSFT的熵被实现？

主要发现

• 所有TSFT可能熵的集合恰好为$\left\{ \frac{1}{p}\ln\lambda \mid \lambda \text{ 是Perron数}, p \in \mathbb{N} \right\}$，推广了Lind对一维SFT的结果。
• TSFT的熵由$h(X) = \max\left\{ \ln\lambda_{M_E} \mid E \text{ 是 } F \text{ 的约化SNRE} \right\}$给出，其中$F$是与TSFT关联的非线性递归方程系统。
• 熵在原系统的子系统上取得，意味着复杂性由约化SNRE结构中的单个不可约分量主导。
• 对任意Perron数$\lambda$及任意$p \in \mathbb{N}$，均存在一个熵为$\frac{1}{p}\ln\lambda$的TSFT，证明了该刻画的完备性。
• 此类TSFT的构造是显式的：给定一个谱半径为$\lambda^{1/p}$的非负不可约整数矩阵$M$，可定义相应的禁止集$\mathcal{F}$以实现熵$\frac{1}{p}\ln\lambda$。
• 提供了一个例子：从$3 \times 3$矩阵$M$构造出一个$4 \times 4$矩阵$V$，由此产生的SNRE系统生成一个熵为$\ln\lambda$的TSFT，其中$\lambda$为$M$的谱半径。