[论文解读] Characterization of barycenters in the Wasserstein space by averaging optimal transport maps

Jérémie Bigot, Thierry Klein|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2012

Point processes and geometric inequalities参考文献 31被引用 17

一句话总结

本文通过证明其等于参考测度在最优传输映射期望下的前推，刻画了2-Wasserstein空间中随机概率测度群体质心。利用对偶性和紧支集假设，作者证明了对最优传输映射取平均可得到Fréchet质心，建立了经验质心的几乎必然一致性，并使该方法在可变形模型的信号与图像处理中得以应用。

ABSTRACT

This paper is concerned by the study of barycenters for random probability measures in the Wasserstein space. Using a duality argument, we give a precise characterization of the population barycenter for various parametric classes of random probability measures with compact support. In particular, we make a connection between averaging in the Wasserstein space as introduced in Agueh and Carlier (2011), and taking the expectation of optimal transport maps with respect to a fixed reference measure. We also discuss the usefulness of this approach in statistics for the analysis of deformable models in signal and image processing. In this setting, the problem of estimating a population barycenter from n independent and identically distributed random probability measures is also considered.

研究动机与目标

• 在紧支集假设下，刻画2-Wasserstein空间中随机概率测度群体质心的性质。
• 建立Wasserstein空间中质心计算与相对于固定参考测度的最优传输映射期望之间的联系。
• 为从独立同分布的概率测度样本中对质心进行统计估计提供理论基础。
• 将该框架扩展至涉及可变形模型和曲线/图像形变的信号与图像处理应用。
• 研究经验质心的收敛性质，并证明其几乎必然收敛于群体质心。

提出的方法

• 利用对偶性论证，将群体质心刻画为参考测度在期望最优传输映射下的前推。
• 定义一个参数族概率测度 μθ = Φ(θ)，其密度定义在紧集 Ω ⊂ ℝd 上。
• 将质心 μ∗ 表示为Fréchet泛函 J(ν) = ∫½d²W₂(ν, μ)dℙg(μ) 的最小化器。
• 通过经验过程的一致收敛性，证明经验质心以几乎必然方式收敛于群体质心。
• 依赖于Wasserstein空间 (ℳ₊(Ω), dW₂) 的紧致性，以确保经验质心的序列收敛性。
• 通过分位数函数和逆CDF的期望，将结果扩展至一维情形，超越紧支集假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用最优传输映射刻画Wasserstein空间中群体质心的性质？
• RQ2 对最优传输映射取平均与在Wasserstein空间中计算质心之间存在何种关系？
• RQ3 在何种条件下，经验质心会以几乎必然方式收敛于群体质心？
• RQ4 参数族测度的质心能否表示为参考测度在期望传输映射下的前推？
• RQ5 该框架如何扩展至非紧支集测度，特别是在一维情形下？

主要发现

• 群体质心 μ∗ 等于参考测度 μ₀ 在最优传输映射期望下的前推，即 μ∗ = T₀∗𝔼[Tθ]，其中 Tθ 是从 μ₀ 到 μθ 的最优映射。
• 经验质心以几乎必然方式收敛于群体质心，即 limₙ→∞ dW₂(μ̄ₙ, μ∗) = 0 a.s.。
• 该收敛性通过经验过程 Δₙ(ν) = Jₙ(ν) − J(ν) 在 ℳ₊(Ω) 上一致收敛于零而得以建立。
• 在一维情形下，若测度非紧支集，则质心由分位数函数 F⁻¹_μ∗(y) = 𝔼[F⁻¹_μθ(y)] 刻画。
• 通过期望最优传输映射的刻画，为信号与图像处理中质心的估计提供了一种实用且统计一致的方法。
• 该结果在假设 μθ 的支集包含于紧集 Ω ⊂ ℝd 的条件下成立，该假设确保了收敛性所必需的紧致性。