[论文解读] Characterizations of 2-local derivations and local Lie derivations on some algebras

Jun He, Jiankui Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文证明了，当 $\mathcal{A}$ 是一个具有 Jordan 导出性质的单位化 Banach 代数时，矩阵代数 $M_n(\mathcal{A})$（$n > 2$）上的 2-局部导出映射必然是导出映射。此外，该文进一步证明了在因子 von Neumann 代数、UHF 代数以及 Jiang-Su 代数上，2-局部 Lie 导出映射是 Lie 导出映射，通过一种新颖的分解技术，展示了 Lie 导出映射标准分解中中心部分的线性性。

ABSTRACT

We prove that every 2-local derivation from the algebra $M_n(\mathcal{A})(n>2)$ into its bimodule $M_n(\mathcal{M})$ is a derivation, where $\mathcal{A}$ is a unital Banach algebra and $\mathcal{M}$ is a unital $\mathcal{A}$-bimodule such that each Jordan derivation from $\mathcal{A}$ into $\mathcal{M}$ is an inner derivation, and that every 2-local derivation on a C*-algebra with a faithful traceable representation is a derivation. We also characterize local and 2-local Lie derivations on some algebras such as von Neumann algebras, nest algebras, Jiang-Su algebra and UHF algebras.

研究动机与目标

• 刻画 $M_n(\mathcal{A})$ 上的 2-局部导出映射，其中 $n > 2$，且 $\mathcal{A}$ 是一个具有 Jordan 导出映射内导出性质的单位化 Banach 代数。
• 将结果推广至具有忠实可表示性的 C*-代数，证明 2-局部导出映射是导出映射。
• 刻画包括 von Neumann 代数、嵌套代数、UHF 代数以及 Jiang-Su 代数在内的一系列代数上的局部与 2-局部 Lie 导出映射。
• 通过一种分解方法，证明在某些 C*-代数与 von Neumann 代数上，每个 2-局部 Lie 导出映射都是 Lie 导出映射。
• 构造一个反例，表明在非因子的有限 von Neumann 代数上，2-局部 Lie 导出映射不一定是 Lie 导出映射。

提出的方法

• 在每个 Jordan 导出映射从 $\mathcal{A}$ 到其双模 $\mathcal{M}$ 均为内导出的条件下，证明 $M_n(\mathcal{A})$（$n > 2$）上的每个 2-局部导出映射都是导出映射。
• 利用 2-局部导出映射在每一点处局部可导出的性质，并利用 Lie 导出映射标准分解的唯一性。
• 对每个 $A$，定义映射 $\delta(A) = \delta_A(A)$ 与 $\tau(A) = \tau_A(A)$，其中 $\varphi_A = \delta_A + \tau_A$ 是 Lie 导出映射的标准分解。
• 通过任意一对 $A,B$ 存在共同的 Lie 导出映射 $\varphi_{A,B}$ 的事实，证明 $\delta$ 是 2-局部导出映射，因此是导出映射。
• 通过分情况讨论 $A$ 或 $B$ 是否为单位元的标量倍数，证明 $\tau$ 的可加性：$\tau(A+B) = \tau(A) + \tau(B)$，从而证明 $\tau$ 是线性映射。
• 在非因子的有限 von Neumann 代数上构造一个非线性的 2-局部 Lie 导出映射，利用中心上的非迹函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$M_n(\mathcal{A})$（$n > 2$）上的每个 2-局部导出映射都是导出映射？
• RQ2 在具有忠实可表示性的 C*-代数上，每个 2-局部导出映射是否必然是导出映射？
• RQ3 在因子 von Neumann 代数、UHF 代数以及 Jiang-Su 代数上，所有局部与 2-局部 Lie 导出映射是否都是实际的 Lie 导出映射？
• RQ4 2-局部 Lie 导出映射是否可能在非因子的有限 von Neumann 代数上不是 Lie 导出映射？
• RQ5 在由 2-局部 Lie 导出映射导出的 Lie 导出映射标准分解中，中心部分 $\tau$ 满足何种条件时是线性映射？

主要发现

• 在每个 Jordan 导出映射从 $\mathcal{A}$ 到 $\mathcal{M}$ 均为内导出的条件下，$M_n(\mathcal{A})$（$n > 2$）上的每个 2-局部导出映射都是导出映射。
• 在具有忠实可表示性的 C*-代数上，每个 2-局部导出映射都是导出映射。
• 在因子 von Neumann 代数上，每个 2-局部 Lie 导出映射都是 Lie 导出映射。
• 在 UHF C*-代数上，每个 2-局部 Lie 导出映射都是 Lie 导出映射。
• 在 Jiang-Su 代数上，每个 2-局部 Lie 导出映射都是 Lie 导出映射。
• 存在一个在非因子的有限 von Neumann 代数上的 2-局部 Lie 导出映射，其不是 Lie 导出映射，从而证明因子条件的必要性。