[论文解读] Characterizations of Besov and Triebel-Lizorkin Spaces via Averages on Balls

Feng Dai, Амиран Гогатишвили+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文通过使用函数与其球平均之间的差值 $ f - B_{\ell,2^{-k}}f $，为 $ \mathbb{R}^n $ 上的齐次 Besov 与 Triebel-Lizorkin 空间提出了一种新颖的刻画方式，适用于光滑性阶 $ \alpha \in (0,2\ell) $，其中 $ \ell \in \mathbb{N} $。关键结果表明，该差值序列控制了函数在这些空间中的范数，从而为任意正光滑性阶的齐次型空间上的此类空间定义提供了新途径。

ABSTRACT

Let $\ell\in\mathbb{N}$ and $p\in(1,\infty]$. In this article, the authors prove that the sequence $\{f-B_{\ell,2^{-k}}f\}_{k\in\mathbb{Z}}$ consisting of the differences between $f$ and the ball average $B_{\ell,2^{-k}}f$ characterizes the Besov space $\dot B^α_{p,q}( n)$ with $q\in (0, \infty]$ and the Triebel-Lizorkin space $\dot F^α_{p,q}( n)$ with $q\in (1,\infty]$ when the smoothness order $α\in(0,2\ell)$. More precisely, it is proved that $f-B_{\ell,2^{-k}}f$ plays the same role as the approximation to the identity $φ_{2^{-k}}\ast f$ appearing in the definitions of $\dot B^α_{p,q}( n)$ and $\dot F^α_{p,q}( n)$. The corresponding results for inhomogeneous Besov and Triebel-Lizorkin spaces are also obtained. These results, for the first time, give a way to introduce Besov and Triebel-Lizorkin spaces with any smoothness order in $(0, 2\ell)$ on spaces of homogeneous type, where $\ell\in{\mathbb N}$.

研究动机与目标

• 解决在齐次型空间上定义光滑性阶 $ \geq 2 $ 的 Besov 与 Triebel-Lizorkin 空间的开放问题。
• 利用差值 $ f - B_{\ell,2^{-k}}f $ 对齐次与非齐次 Besov 与 Triebel-Lizorkin 空间进行刻画。
• 通过确保刻画不依赖于底层范数，将这些函数空间的适用性扩展至欧几里得空间之外。
• 建立一个框架，使用球平均在齐次型空间上定义任意光滑性阶 $ \alpha \in (0,2\ell) $ 的函数空间。

提出的方法

• 将算子 $ B_{\ell,t}f(x) $ 定义为半径为 $ t $ 的球上平均的高阶差分，使用二项式系数。
• 利用与 $ B_{\ell,t} $ 相关的傅里叶乘子 $ m_{\ell}(t\xi) $，将差值 $ f - B_{\ell,2^{-k}}f $ 与频率局部化联系起来。
• 建立 $ |f - B_{\ell,2^{-k}}f| $ 的点态估计与 $ L^p $ 型估计，其形式以光滑性范数 $ \|f\|_{\dot{B}^\alpha_{p,q}} $ 和 $ \|f\|_{\dot{F}^\alpha_{p,q}} $ 表示。
• 通过与 Calderón 重构公式比较，证明范数等价性，表明 $ \{f - B_{\ell,2^{-k}}f\}_{k \in \mathbb{Z}} $ 的行为类似于光滑的 dyadic 分解。
• 利用一般赋范空间中单位球 $ K $ 的对称性与凸性，将结果推广至 $ \mathbb{R}^n $ 上的任意范数，证明在范数变换下空间的不变性。
• 应用极大函数估计与乘子 $ m_{\ell,K}(x) $ 的点态界，控制 $ B_{\ell,t,K}f $ 的行为，并导出所需的不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用差值 $ f - B_{\ell,2^{-k}}f $ 而非经典 dyadic 分解，对光滑性阶 $ \alpha \in (0,2\ell) $ 的 Besov 与 Triebel-Lizorkin 空间进行刻画？
• RQ2 该刻画在 $ \mathbb{R}^n $ 上范数改变下是否稳健，从而可推广至一般齐次型空间？
• RQ3 序列 $ \{f - B_{\ell,2^{-k}}f\}_{k \in \mathbb{Z}} $ 是否控制了 $ f $ 在 $ \dot{B}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n) $ 与 $ \dot{F}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n) $ 中的完整范数，其中 $ q \in (0,\infty] $ 且 $ p \in (1,\infty] $？
• RQ4 该刻画是否可扩展至非齐次 Besov 与 Triebel-Lizorkin 空间？
• RQ5 差值 $ f - B_{\ell,2^{-k}}f $ 与这些函数空间的经典平方函数或逼近单位核定义之间的确切关系为何？

主要发现

• 序列 $ \{f - B_{\ell,2^{-k}}f\}_{k \in \mathbb{Z}} $ 对齐次 Besov 空间 $ \dot{B}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n) $ 具有刻画作用，其中 $ \alpha \in (0,2\ell) $，$ p \in (1,\infty] $，$ q \in (0,\infty] $，其范数等价于 $ \left\| \left\{ \sum_{k \in \mathbb{Z}} 2^{k\alpha q} |f - B_{\ell,2^{-k}}f|^q \right\}^{1/q} \right\|_{L^p} $。
• 对于齐次 Triebel-Lizorkin 空间 $ \dot{F}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n) $，当 $ p \in (1,\infty) $ 且 $ q \in (1,\infty] $ 时，其范数等价于 $ \left\| \left\{ \sum_{k \in \mathbb{Z}} 2^{k\alpha q} |f - B_{\ell,2^{-k}}f|^q \right\}^{1/q} \right\|_{L^p} $；当 $ p = \infty $ 时，等价于一种极大函数型表达式。
• 当欧几里得球被 $ \mathbb{R}^n $ 上任意范数的单位球 $ K $ 取代时，该刻画依然成立，其中算子 $ B_{\ell,t,K}f $ 通过 $ K $ 的伸缩平均的二项式组合定义。
• 与 $ B_{\ell,t,K} $ 相关的乘子 $ m_{\ell,K}(x) $ 满足 $ |m_{\ell,K}(x)| \sim |x|^{2\ell} $（当 $ |x| $ 较小时），且 $ |\nabla^i m_{\ell,K}(x)| \lesssim \min\{|x|^{2\ell - i}, 1\} $，从而保证了正确的齐次性与光滑性。
• 结果与 $ \mathbb{R}^n $ 上范数的选择无关，因为由于有限维性，空间 $ \dot{B}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n) $ 与 $ \dot{F}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n) $ 在任意范数下均等价。
• 该方法为在齐次型空间上以任意光滑性阶 $ \alpha \in (0,2\ell) $ 定义 Besov 与 Triebel-Lizorkin 空间提供了新的、内在的途径，解决了该领域的一个开放问题。