[论文解读] Characterizations of Bounded Ricci Curvature on Smooth and NonSmooth Spaces

Aaron Naber|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 34

一句话总结

该论文通过路径空间上的无限维分析，建立了光滑与非光滑度量测度空间上有界里奇曲率的等价刻画。它引入了平行梯度，并证明了有界里奇曲率等价于梯度估计、局部鞅正则性以及奥恩斯坦-乌伦贝克算子的谱/对数-索博列夫估计，将巴克里-埃梅里理论推广至非光滑情形。

ABSTRACT

There are two primary goals to this paper. In the first part of the paper we study smooth metric measure spaces (M^n,g,e^{-f}dv_g) and give several ways of characterizing bounds -Kg\leq \Ric+ abla^2f\leq Kg on the Ricci curvature of the manifold. In particular, we see how bounded Ricci curvature on M controls the analysis of path space P(M) in a manner analogous to how lower Ricci curvature controls the analysis on M. In the second part of the paper we develop the analytic tools needed to in order to use these new characterizations to give a definition of bounded Ricci curvature on general metric measure spaces (X,d,m). We show that on such spaces many of the properties of smooth spaces with bounded Ricci curvature continue to hold on metric-measure spaces with bounded Ricci curvature.

研究动机与目标

• 通过路径空间分析，为光滑度量测度空间上的有界里奇曲率提供多种等价刻画。
• 将这些刻画推广至一般度量测度空间，即使空间非光滑或具有奇点。
• 在不依赖随机平行移动映射的前提下，为任意度量测度空间定义有界里奇曲率的概念。
• 证明在有界里奇曲率条件下，关键的分析性质——如庞加莱不等式与对数-索博列夫不等式——在路径空间上成立。
• 建立有界里奇曲率意味着在洛特-维拉尼-斯图尔姆意义下具有下界里奇曲率的结论。

提出的方法

• 通过曲线的变分和一种新颖的随机平行移动替代方法，引入路径空间上平行梯度的概念。
• 以路径空间上的维纳测度作为基础概率结构，定义无限维分析。
• 建立有界里奇曲率与路径空间上涉及平行梯度的梯度估计之间的等价性。
• 通过二次变差估计，将有界里奇曲率与路径空间上局部鞅的 $ C^{1/2} $-正则性联系起来。
• 分析路径空间上的奥恩斯坦-乌伦贝克算子，并在有界里奇曲率下证明其谱间隙与对数-索博列夫不等式的最优结果。
• 通过利用上确界与弱黎曼结构定义平行梯度，将理论应用于非光滑空间，避免对光滑性的依赖。

实验结果

研究问题

• RQ1 在光滑度量测度空间中，如何通过路径空间上的无限维分析刻画有界里奇曲率？
• RQ2 平行梯度在路径空间上刻画里奇曲率有界性中起什么作用？
• RQ3 路径空间上的局部鞅正则性与二次变差如何与有界里奇曲率相关联？
• RQ4 在有界里奇曲率条件下，路径空间上的奥恩斯坦-乌伦贝克算子是否满足庞加莱与对数-索博列夫不等式？
• RQ5 在不依赖随机平行移动的前提下，如何在非光滑度量测度空间中定义并刻画有界里奇曲率？

主要发现

• 有界里奇曲率等价于路径空间上一族平行梯度估计，该估计将巴克里-埃梅里梯度估计推广至无限维情形。
• 路径空间上局部鞅的 $ C^{1/2} $-正则性等价于有界里奇曲率，且其二次变差满足时间正则性条件。
• 在有界里奇曲率下，奥恩斯坦-乌伦贝克算子在路径空间上满足最优对数-索博列夫不等式与谱间隙不等式，且其依赖于曲率界 $ \kappa $ 的显式表达式。
• 在具有有界里奇曲率的度量测度空间中，路径空间支持行为良好的局部鞅，并满足庞加莱与对数-索博列夫不等式。
• 即使在非光滑情形下，有界里奇曲率也意味着在洛特-维拉尼-斯图尔姆意义下具有下界里奇曲率为 $ -\kappa $。
• 该理论使得奥恩斯坦-乌伦贝克算子及其相关分析可在任意度量测度空间的路径空间上定义，从而将光滑几何中的结果推广至更一般情形。