[论文解读] Characterizations of the $(b, c)$-inverse in a ring

Long Wang, Jianlong Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文通过直和分解、零化子和可逆元，提供了环中 $(b,c)$-逆的多种刻画，建立了 $(b,c)$-逆、混合 $(b,c)$-逆与零化子 $(b,c)$-逆之间的等价性。此外，本文刻画了具有相同 $(b,c)$-幂等元的元素，并确立了反向规则 $(ad)^{\frown(b,c)} = d^{\frown(b,c)}a^{\frown(b,c)}$ 成立的必要与充分条件。

ABSTRACT

Let $R$ be a ring and $b, c\in R$. In this paper, we give some characterizations of the $(b,c)$-inverse, in terms of the direct sum decomposition, the annihilator and the invertible elements. Moreover, elements with equal $(b,c)$-idempotents related to their $(b, c)$-inverses are characterized, and the reverse order rule for the $(b,c)$-inverse is considered.

研究动机与目标

• 通过直和分解、零化子条件与可逆元，提供环中 $(b,c)$-逆的新刻画。
• 在 $b$ 与 $c$ 正则的条件下，建立 $(b,c)$-逆、混合 $(b,c)$-逆与零化子 $(b,c)$-逆之间的等价性。
• 刻画与自身 $(b,c)$-逆相关联的相同 $(b,c)$-幂等元的元素。
• 研究 $(ad)$ 的 $(b,c)$-逆满足反向规则 $(ad)^{\frown(b,c)} = d^{\frown(b,c)}a^{\frown(b,c)}$ 的条件。
• 将图像-核 $(p,q)$-逆理论的结果推广至更广泛的 $(b,c)$-逆框架。

提出的方法

• 利用 $(b,c)$-逆的定义，即满足 $yab = b$，$cay = c$，且 $y \in (bRy) \cap (yRc)$，其中 $y = a^{\frown(b,c)}$。
• 通过 $b$ 与 $c$ 的像与核对环 $R$ 进行直和分解，利用幂等元与零化子的结构。
• 使用左/右零化子理想 $l(a)$、$r(a)$ 及其左/右零化子，刻画 $(b,c)$-逆的存在性与唯一性。
• 在假设 $b$ 与 $c$ 为正则元的条件下，利用 $(b,c)$-逆、混合 $(b,c)$-逆与零化子 $(b,c)$-逆之间的等价性。
• 通过涉及 $a^{\frown(b,c)}$、$d^{\frown(b,c)}$ 及其乘积的恒等式，推导反向规则成立的必要与充分条件。
• 应用正则性与群逆已知结果，刻画 $a^{\frown(b,c)}a$ 与 $aa^{\frown(b,c)}$ 为幂等元的条件，以及它们在不同元素间相等的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$b$ 与 $c$ 使得 $(b,c)$-逆存在？其可通过直和分解如何刻画？
• RQ2 在什么条件下，$(b,c)$-逆、混合 $(b,c)$-逆与零化子 $(b,c)$-逆等价？
• RQ3 何种条件可确保两个元素 $a$ 与 $d$ 拥有相等的 $(b,c)$-幂等元 $a^{\frown(b,c)}a$ 与 $d^{\frown(b,c)}d$？
• RQ4 $(ad)$ 的 $(b,c)$-逆满足反向规则 $(ad)^{\frown(b,c)} = d^{\frown(b,c)}a^{\frown(b,c)}$ 的条件是什么？
• RQ5 $(b,c)$-幂等元 $a^{\frown(b,c)}a$ 与 $aa^{\frown(b,c)}$ 如何与 $a^{\frown(b,c)}d$ 等乘积的群逆性相关？

主要发现

• 当 $b$ 与 $c$ 为正则元时，$(b,c)$-逆、混合 $(b,c)$-逆与零化子 $(b,c)$-逆等价。
• $(b,c)$-逆存在的充要条件是 $Rb = Rt$ 且 $cR = tR$，其中 $t = cab$，如引理 2.1 所示。
• $(b,c)$-幂等元 $a^{\frown(b,c)}a$ 与 $aa^{\frown(b,c)}$ 是环 $R$ 中的幂等元，且对两个元素 $a$ 与 $d$，其相等性可通过 $a^{\frown(b,c)}d$ 的群逆性刻画。
• 反向规则 $(ad)^{\frown(b,c)} = d^{\frown(b,c)}a^{\frown(b,c)}$ 成立当且仅当 $d^{\frown(b,c)} = d^{\frown(b,c)}add^{{\frown(b,c)}}a^{\frown(b,c)}$ 且 $a^{\frown(b,c)} = a^{\frown(b,c)}add^{{\frown(b,c)}}a^{\frown(b,c)}$，如定理 4.4 所示。
• 若 $a^{\frown(b,c)}a = dd^{\frown(b,c)}$，则反向规则成立，且该条件等价于 $a^{\frown(b,c)}dd^{\frown(b,c)}a = dd^{\frown(b,c)}aa^{\frown(b,c)}$ 与 $d^{\frown(b,c)}da^{\frown(b,c)}a = da^{\frown(b,c)}ad^{\frown(b,c)}$，如定理 4.5 所示。
• 条件 $a^{\frown(b,c)}a = dd^{\frown(b,c)}$ 意味着 $a^{\frown(b,c)}d$ 是群可逆的，且其群逆为 $(a^{\frown(b,c)}d)^{\text{\#}} = d^{\frown(b,c)}a$，反之亦然，从而为反向规则建立了群可逆性准则。