[论文解读] Characterizing minimum-length coordinated motions for two discs

David Kirkpatrick, Paul Liu|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2016

Robotic Path Planning Algorithms参考文献 13被引用 10

一句话总结

本文针对无障碍物平面上的两个圆盘机器人，完整刻画了最短协调运动的特性，以两圆心路径总长度为代价度量。证明了最优路径最多由六段组成（直线或半径等于两圆半径之和的圆弧），可通过闭式积分计算，并支持解耦（一个机器人依次移动）和角度单调耦合运动（相对角度单调变化）两种形式。

ABSTRACT

We study the problem of determining optimal coordinated motions for two disc robots in an otherwise obstacle-free plane. Using the total path length traced by the two disc centres as a measure of distance, we give an exact characterization of a shortest collision-avoiding motion for all initial and final configurations of the robots. The individual paths are composed of at most six (straight or circular-arc) segments, and their total length can be expressed as a simple integral with a closed form solution depending only on the initial and final configuration of the robots. Furthermore, the paths can be parametrized in such a way that (i) only one robot is moving at any given time (decoupled motion), or (ii) the angle between the two robots' centres changes monotonically.

研究动机与目标

• 确定无障碍物平面上两圆盘机器人的最短无碰撞运动，以两圆心轨迹路径长度之和作为代价度量。
• 刻画所有存在最优运动的初始与最终构型，包括构型间存在净旋转的情况。
• 提供统一框架，支持解耦运动（一个机器人依次移动）和耦合运动（相对角度单调变化）两种形式。
• 将柯西表面积公式推广至二维圆盘机器人，推广先前关于线段运动的研究结果。
• 证明最优路径由固定数量的直线段与圆弧段构成，并给出总长度的闭式表达式。

提出的方法

• 将原本用于定向线段的柯西表面积公式应用于推导两圆盘运动的最优性条件。
• 将运动建模为包含平移与旋转的刚体变换序列，受限于两圆盘不发生碰撞的条件。
• 基于两圆盘圆心的相对位置及其s-圆（彼此距离为s的点的轨迹）进行几何分解。
• 根据一个圆盘在初始与最终位置处的s-圆的交集，对构型进行分类。
• 运用引理（如引理4.4与引理4.6）证明不同运动区域中路径的最优性及相对角度变化的单调性。
• 构建解耦与耦合运动：解耦运动通过依次移动一个圆盘实现，耦合运动通过保持相对角度单调变化的连续运动实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 无障碍物平面上两圆盘机器人的最短协调运动的精确几何结构是什么？
• RQ2 在哪些初始与最终构型下，存在直线型最优运动？
• RQ3 最优运动是否可分解为解耦运动（一个机器人依次移动）或耦合运动（相对角度单调变化）形式？
• RQ4 最优运动的总路径长度是否存在闭式表达式，且仅依赖于初始与最终构型？
• RQ5 是否可实现最优运动，使得两圆盘在单个连续时间段内保持接触，且相对角度单调变化？

主要发现

• 两圆盘机器人的最优协调运动最多由六段组成：直线段或半径等于两圆半径之和的圆弧段。
• 总路径长度由仅依赖于圆心初始与最终构型的闭式积分给出。
• 所有最优运动均可实现为解耦运动（仅一个圆盘移动）或相对角度单调变化的耦合运动。
• 在耦合运动中，两圆盘在单个连续时间段内保持接触，一旦分离后永不重新连接。
• 当相对构型包含净旋转时，最优运动唯一；否则存在两种最优运动——一种对应净顺时针旋转，一种对应净逆时针旋转。
• 证明基于柯西表面积公式，结合s-圆（距圆盘中心距离为s的点的轨迹）交集的几何情形分析，各情形下通过引理证明最优性与角度变化的单调性。