[论文解读] Chow groups and $L$-derivatives of automorphic motives for unitary groups

Chao Li, Yifeng Liu|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 38被引用 6

一句话总结

本文通过证明$ L $-函数中心导数非零蕴含自守动机的非平凡Chow群，从而证明了酉群情形下Beilinson–Bloch猜想的一个关键情形。作者利用算术theta提升与局部加倍zeta积分，构造了Chow群中的显式元素并计算其高度，从而验证了一个推广了Gross–Zagier公式的算术内积公式，适用于高秩动机。

ABSTRACT

In this article, we study the Chow group of the motive associated to a tempered global $L$-packet $π$ of unitary groups of even rank with respect to a CM extension, whose global root number is $-1$. We show that, under some restrictions on the ramification of $π$, if the central derivative $L'(1/2,π)$ is nonvanishing, then the $π$-nearly isotypic localization of the Chow group of a certain unitary Shimura variety over its reflex field does not vanish. This proves part of the Beilinson--Bloch conjecture for Chow groups and $L$-functions, which generalizes the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. Moreover, assuming the modularity of Kudla's generating functions of special cycles, we explicitly construct elements in a certain $π$-nearly isotypic subspace of the Chow group by arithmetic theta lifting, and compute their heights in terms of the central derivative $L'(1/2,π)$ and local doubling zeta integrals. This confirms the conjectural arithmetic inner product formula proposed by one of us, which generalizes the Gross--Zagier formula to higher dimensional motives.

研究动机与目标

• 证明与偶数秩酉群的温良$ L $-包相关的自守动机的Chow群的Beilinson–Bloch猜想的一部分。
• 通过将$ L $-导数与特殊循环的高度配对的算术内积公式，建立Gross–Zagier公式的高维推广。
• 利用算术theta提升构造Chow群中的显式元素，并验证其高度与$ L' $-导数及局部zeta积分的关系。

提出的方法

• 利用算术theta提升，在酉Shtuka簇的反射域上，生成其$ \pi $-几乎同型子空间中的Chow群元素。
• 通过局部加倍zeta积分与中心导数$ L'(1/2, \pi) $，计算这些提升循环的Beilinson–Bloch高度。
• 应用加倍法，将分析侧（中心$ L $-导数）与几何侧（特殊循环的高度配对）联系起来。
• 在分裂、惰性和阿基米德位置处使用局部指标，通过局部贡献的分解计算全局高度配对。
• 利用Kudla对特殊循环及其生成函数的研究，将算术交点数与$ L $-导数联系起来。
• 依赖于Kudla生成函数的模形式性，以确保算术theta提升落入正确的Chow群子空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$ L'(1/2, \pi) \neq 0 $时，酉Shtuka簇的$ \pi $-几乎同型Chow群是否非平凡？
• RQ2 算术theta提升的高度是否可表示为$ L'(1/2, \pi) $与局部加倍zeta积分的乘积？
• RQ3 是否成立一个推广了Gross–Zagier公式的算术内积公式，适用于高秩酉动机？
• RQ4 在不同位置（分裂、惰性、阿基米德）的局部指标如何贡献于特殊循环的全局高度配对？
• RQ5 Kudla生成函数的模形式性在多大程度上允许显式构造Chow群元素？

主要发现

• 当$ L'(1/2, \pi) \neq 0 $时，酉Shtuka簇的$ \pi $-几乎同型Chow群局部化不为零，从而确认了Beilinson–Bloch猜想的一个情形。
• 通过算术theta提升显式构造了Chow群中的元素，其Beilinson–Bloch高度被计算为$ L'(1/2, \pi) $与局部加倍zeta积分的乘积。
• 高度配对被证明可分解为分裂、惰性和阿基米德位置处的局部贡献，每一项均通过特定的zeta积分计算。
• 在全局根数为$-1$的偶数秩酉群情形下，算术内积公式得到验证，从而推广了Gross–Zagier公式。
• 结果依赖于Kudla特殊循环生成函数的模形式性，该性质最近在[LZ]中得到证明。
• 该证明依赖于加倍法在关联$ L $-导数与几何高度方面的新颖应用，将theta提升框架扩展至高秩动机。