[论文解读] Chromatic quasisymmetric functions of directed graphs

Brittney Ellzey|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 14

一句话总结

本文将色性拟对称函数从标记图推广至有向图，为所有有向图引入 F-基和 p-基展开，并证明了恰当圆弧有向图的色性拟对称函数是对称函数。关键结果是推导出有向环的 e-基展开的生成函数，表明其为 e-正、倒装对称且 e-单峰，从而改进了理查德·斯坦利对无向环的结果。

ABSTRACT

Chromatic quasisymmetric functions of labeled graphs were defined by Shareshian and Wachs as a refinement of Stanley's chromatic symmetric functions. In this extended abstract, we consider an extension of their definition from labeled graphs to directed graphs, suggested by Richard Stanley. We obtain an F-basis expansion of the chromatic quasisymmetric functions of all digraphs and a p-basis expansion for all symmetric chromatic quasisymmetric functions of digraphs, extending work of Shareshian-Wachs and Athanasiadis. We show that the chromatic quasisymmetric functions of proper circular arc digraphs are symmetric functions, which generalizes a result of Shareshian and Wachs on natural unit interval graphs. The directed cycle on n vertices is contained in the class of proper circular arc digraphs, and we give a generating function for the e-basis expansion of the chromatic quasisymmetric function of the directed cycle, refining a result of Stanley for the undirected cycle. We present a generalization of the Shareshian-Wachs refinement of the Stanley-Stembridge e-positivity conjecture.

研究动机与目标

• 将色性拟对称函数的定义从标记图扩展至有向图，回应理查德·斯坦利的建议。
• 为所有有向图的色性拟对称函数建立 F-基和 p-基展开。
• 证明恰当圆弧有向图的色性拟对称函数是对称函数，推广沙雷申安与瓦克斯关于自然单位区间图的结果。
• 推导出有向环的色性拟对称函数在 e-基展开下的生成函数，改进斯坦利对无向环的结果。
• 将沙雷申安-瓦克斯对斯坦利-斯蒂姆布里奇 e-正性猜想的改进推广至有向图的设定。

提出的方法

• 通过在合法着色中统计上升数，引入有向图的色多项式的拟对称精化。
• 应用转移矩阵法，并结合曼塔西与拉科通德拉约的排列统计方法，推导生成函数。
• 利用有向图的无环定向来解释 e-基展开中的系数，其中边一致计数作为 t 的指数。
• 建立有向环的色性拟对称函数的生成函数：$\sum_{n\geq 2}X_{\overrightarrow{C_{n}}}({\bf x},t)z^{n}=\frac{t\sum_{k\geq 2}k[k-1]_{t}e_{k}z^{k}}{1-t\sum_{k\geq 2}[k-1]_{t}e_{k}z^{k}}$。
• 为路径和环有向图定义无环定向集合 $AO_\lambda(G)$，其中汇点之间的顶点数与分拆 $\lambda$ 的部分相对应，并利用与原图定向的一致性来计数上升数。

实验结果

研究问题

• RQ1 色性拟对称函数能否有意义地从标记图推广至有向图，其性质是否得以保留？
• RQ2 恰当圆弧有向图的色性拟对称函数是否为对称函数，是否推广了关于自然单位区间图的已知结果？
• RQ3 有向环的色性拟对称函数在 e-基展开下的形式为何，其是否表现出 e-正性、单峰性或倒装对称性？
• RQ4 能否利用无环定向和上升统计，将沙雷申安-瓦克斯的 e-正性猜想推广至有向图设定？
• RQ5 是否存在一个生成函数，能够捕捉有向环的色性拟对称函数在 e-基展开下的系数？

主要发现

• 任何恰当圆弧有向图的色性拟对称函数都是对称函数，推广了沙雷申安与瓦克斯关于自然单位区间图的结果。
• 有向环 $\overrightarrow{C_n}$ 的色性拟对称函数是 e-正、倒装对称且 e-单峰的，由定理 12 中的生成函数所证明。
• 推导出 $X_{\overrightarrow{C_n}}({\bf x},t)$ 的闭式生成函数：$\sum_{n\geq 2}X_{\overrightarrow{C_{n}}}({\bf x},t)z^{n}=\frac{t\sum_{k\geq 2}k[k-1]_{t}e_{k}z^{k}}{1-t\sum_{k\geq 2}[k-1]_{t}e_{k}z^{k}}$，其中 $[k]_t = 1 + t + \cdots + t^{k-1}$。
• 在 $X_{\overrightarrow{C_n}}({\bf x},t)$ 的 e-基展开中，系数 $c_\lambda(t)$ 由 $\sum_{\bar{a} \in AO_\lambda(C_n)} t^{\operatorname{asc}_{\overrightarrow{C_n}}(\bar{a})}$ 给出，其中 $\bar{a}$ 遍历满足指定汇点间顶点数的无环定向。
• 对于有向路径 $\overrightarrow{P_n}$，e-基系数 $c_\lambda(t)$ 同样表示为对满足连续汇点间有 $\lambda_i - 1$ 个顶点的无环定向的求和。
• 结果通过无环定向和边一致计数，为 e-基系数提供了组合解释，提示了一种可能证明更广类有向图 e-正性的方法。