[论文解读] Classical algorithms and quantum limitations for maximum cut on high-girth graphs

Boaz Barak, Kunal Marwaha|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文分析了在高圈长图上局部量子与经典算法在最大割问题中的性能。证明了一阶局部量子与经典算法的性能上限为 1/2 + C/√D，其中 C ≈ 0.707，而经典 k 阶局部算法可达到 1/2 + 2/π√D − O(1/√k)，优于高圈长图上的常数深度 QAOA。实验结果表明，经典算法在所有实例中可能均点对点优于 QAOA。

ABSTRACT

We study the performance of local quantum algorithms such as the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) for the maximum cut problem, and their relationship to that of classical algorithms. (1) We prove that every (quantum or classical) one-local algorithm achieves on $D$-regular graphs of girth $> 5$ a maximum cut of at most $1/2 + C/\sqrt{D}$ for $C=1/\sqrt{2} \approx 0.7071$. This is the first such result showing that one-local algorithms achieve a value bounded away from the true optimum for random graphs, which is $1/2 + P_*/\sqrt{D} + o(1/\sqrt{D})$ for $P_* \approx 0.7632$. (2) We show that there is a classical $k$-local algorithm that achieves a value of $1/2 + C/\sqrt{D} - O(1/\sqrt{k})$ for $D$-regular graphs of girth $> 2k+1$, where $C = 2/\pi \approx 0.6366$. This is an algorithmic version of the existential bound of Lyons and is related to the algorithm of Aizenman, Lebowitz, and Ruelle (ALR) for the Sherrington-Kirkpatrick model. This bound is better than that achieved by the one-local and two-local versions of QAOA on high-girth graphs. (3) Through computational experiments, we give evidence that the ALR algorithm achieves better performance than constant-locality QAOA for random $D$-regular graphs, as well as other natural instances, including graphs that do have short cycles. Our experimental work suggests that it could be possible to extend beyond our theoretical constraints. This points at the tantalizing possibility that $O(1)$-local quantum maximum-cut algorithms might be *pointwise dominated* by polynomial-time classical algorithms, in the sense that there is a classical algorithm outputting cuts of equal or better quality *on every possible instance*. This is in contrast to the evidence that polynomial-time algorithms cannot simulate the probability distributions induced by local quantum algorithms.

研究动机与目标

• 研究多项式时间经典算法是否可以在所有图（包括存在短环的图）上点对点主导如 QAOA 的 O(1)-局部量子算法用于最大割问题。
• 在 D-正则高圈长图上建立一阶局部与 k 阶局部经典与量子算法性能的理论边界。
• 通过计算实验评估经典与量子算法之间的性能差距是否在高圈长假设之外依然存在。
• 探索经典算法是否可在高圈长图上实现渐近最优的近似比 1/2 + P*/√D + o(1/√D)。

提出的方法

• 利用谱论与概率论论证，证明在圈长大于 5 的 D-正则图上，所有一阶局部算法的性能上限为 1/2 + 1/√(2D)。
• 基于 Aizenman-Lebowitz-Ruelle (ALR) 方法构造一种经典 k 阶局部算法，在圈长大于 2k+1 的 D-正则图上实现 1/2 + 2/π√D − O(1/√k) 的性能。
• 利用高圈长图中局部邻域的树状结构，将最大割问题简化为在正则树上的局部决策问题。
• 在随机正则图、网格与环面图上进行计算实验，比较 ALR 与 QAOA 在不同深度与图结构下的性能表现。
• 分析 QAOA 与 ALR 在含小环图实例中的表现，包括 GW 与 ALR 均失效的不相交图并集。
• 利用 Zhou 等人（2020a）已有的 QAOA 模拟结果，对比真实实例中 ALR 与 QAOA 的性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典多项式时间算法是否可以在所有图（包括存在短环的图）上点对点主导 O(1)-局部量子算法用于最大割问题？
• RQ2 在高圈长 D-正则图上，一阶局部算法性能上限为 1/2 + C/√D 时，最优常数 C 的值是多少？
• RQ3 基于 ALR 的经典 k 阶局部算法是否在高圈长随机 D-正则图上优于常数深度 QAOA？
• RQ4 在含小环的图（如网格与环面图）中，是否可观察到经典算法相对于 QAOA 的性能优势？
• RQ5 是否存在一种经典算法，可在 D-正则高圈长图上实现渐近最优值 1/2 + P*/√D + o(1/√D)？

主要发现

• 在 D-正则高圈长图上，一阶局部算法的性能上限为 1/2 + 1/√(2D) ≈ 1/2 + 0.707/√D，该值与真实最优值 1/2 + 0.763/√D 明显分离。
• 经典 k 阶局部算法可实现 1/2 + 2/π√D − O(1/√k) ≈ 1/2 + 0.6366/√D − O(1/√k)，优于高圈长图上的单阶与双阶 QAOA。
• 计算实验表明，ALR 算法在随机正则图与含小环图（包括网格与环面图）上，于常数深度下始终优于 QAOA。
• ALR 算法在网格与环面图等二分图上可实现最优割值 1，而当 p ≪ n 时，QAOA 无法达到最优值。
• 理论结果表明，O(1)-局部量子算法可能被经典算法点对点主导，尽管该结论尚未在所有图上得到证明。
• 实验结果表明，随着图大小相对于深度 p 的增加，QAOA 性能相对于经典算法持续下降，提示为获得优势，p 必须随 n 增长。