[论文解读] Classical and Quantum Bounded Depth Approximation Algorithms

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 47

一句话总结

本文分析局部经典与量子有界深度算法在 MAX-K-LIN-2 与 MAX-CUT 上的表现，表明简单的一步局部经典算法在若干情形下能够超过或匹配一阶 QAOA，并且在某些问题上，固定深度的局部方案无法达到全局深度的效果。

ABSTRACT

We consider some classical and quantum approximate optimization algorithms with bounded depth. First, we define a class of "local" classical optimization algorithms and show that a single step version of these algorithms can achieve the same performance as the single step QAOA on MAX-3-LIN-2. Second, we show that this class of classical algorithms generalizes a class previously considered in the literature, and also that a single step of the classical algorithm will outperform the single-step QAOA on all triangle-free MAX-CUT instances. In fact, for all but $4$ choices of degree, existing single-step classical algorithms already outperform the QAOA on these graphs, while for the remaining $4$ choices we show that the generalization here outperforms it. Finally, we consider the QAOA and provide strong evidence that, for any fixed number of steps, its performance on MAX-3-LIN-2 on bounded degree graphs cannot achieve the same scaling as can be done by a class of "global" classical algorithms. These results suggest that such local classical algorithms are likely to be at least as promising as the QAOA for approximate optimization.

研究动机与目标

• 为 MAX-K-LIN-2 与 MAX-CUT 构建并形式化一类局部（有界深度）优化算法，包含经典与量子两类。
• 在选定问题上比较一阶局部经典算法与一阶 QAOA 的性能。
• 推广已有的局部算法并识别局部经典方法在某些情形下可以优于 QAOA 的范围。
• 展示局部算法的局限性，并讨论何时需要全局参数方案。

提出的方法

• 将局部算法定义为具有有界深度的电路或经典运算的站点相关自由度的迭代更新。
• 引入张量算法框架，使更新形式为 v_{a+1} = g_a(v_a + c_a F_a) 或类似形式，具体取决于目标函数。
• 对 MAX-3-LIN-2 进行单步更新并采用软自旋分配以得到目标期望 Θ(D^{1/4} N) 的表达。
• 利用张量网络图解方法对高阶项进行界定，并给出张量网络收缩的一般引理以控制误差项。
• 将局部张量算法与模拟退火联系起来，证明在并行更新中等价。
• 分析 MAX-CUT 在无三角图上的情形，比较单步 QAOA 与局部阈值（及软阈值）经典算法的表现，并对阈值参数 τ 进行优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个有界深度的局部经典算法是否能够在 MAX-3-LIN-2 与 MAX-CUT（无三角图）上匹配或超越一阶 QAOA？
• RQ2 与 QAOA 相比，局部经典算法在度数 D 和图规模 N 上的目标值增长尺度如何？
• RQ3 对局部算法（张量算法）的推广是否能提升相对于 QAOA 的性能，且其局限性在哪里？
• RQ4 在多大程度上较深深度或非局部（全局参数）选择能提升超过有界深度局部方案的性能？
• RQ5 结果如何扩展到 MAX-K-LIN-2 的奇数 K，以及对偶数 K 有何含义？

主要发现

• 对于 MAX-3-LIN-2，单步局部张量算法在期望 Θ(D^{1/4} N) 的目标值上达到，与单步 QAOA 的尺度匹配。
• 在无三角 MAX-CUT 中，单步局部经典算法在所有度数下均优于单步 QAOA，只有在 D ∈ {3,4,6,11} 的某些情形，在参数泛化或数值检验后，仍有个别情形更有利于经典方法。
• 在几乎所有度数选择下，现有的单步局部经典算法已经在无三角图上优于 QAOA，仍有四个剩余的度数选择，其中广义方法优于 QAOA。
• 分析表明，对于任意固定的 QAOA 步数，其在 MAX-3-LIN-2 的有界度图上的标度不能达到一类全局经典算法的性能标度，凸显纯局部方法的局限性。
• 局部经典算法（如 Hirvonen 等人 2014 风格）可以被视为张量算法框架的一个特例，并在参数优化后，在若干情形下能超过 QAOA。
• 论文讨论到，尽管局部算法可以非常具有竞争力，但也存在一些问题，其中增加有界深度并不显著提升性能，凸显局部方案的根本局限。