[论文解读] Classical shadows of fermions with particle number symmetry

Guang Hao Low|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2022

Random Matrices and Applications被引用 18

一句话总结

该论文提出了一种经典高效的方法，用于在粒子数固定为 $\eta$ 的费米子系统中，利用保持粒子数的经典阴影估计 $k$-约化密度矩阵（k-RDMs）。通过在 $\eta$-粒子子空间中使用随机单体幺正变换，该方法实现了 $\mathcal{O}(\eta^k / \epsilon^2)$ 的样本复杂度，相较于以往基于量子比特的方案（其复杂度随 $n^k$ 增长，其中 $n \gg \eta$ 在量子化学和凝聚态系统中很常见）实现了超指数级的改进。

ABSTRACT

We consider classical shadows of fermion wavefunctions with $η$ particles occupying $n$ modes. We prove that all $k$-Reduced Density Matrices (RDMs) may be simultaneously estimated to an average variance of $ε^{2}$ using at most $\binomη{k}\big(1-\frac{η-k}{n}\big)^{k}\frac{1+n}{1+n-k}/ε^{2}$ measurements in random single-particle bases that conserve particle number, and provide an estimator for any $k$-RDM with $\mathcal{O}(k^2η)$ classical complexity. Our sample complexity is a super-exponential improvement over the $\mathcal{O}(\binom{n}{k}\frac{\sqrt{k}}{ε^{2}})$ scaling of prior approaches as $n$ can be arbitrarily larger than $η$, which is common in natural problems. Our method, in the worst-case of half-filling, still provides a factor of $4^{k}$ advantage in sample complexity, and also estimates all $η$-reduced density matrices, applicable to estimating overlaps with all single Slater determinants, with at most $\mathcal{O}(\frac{1}{ε^{2}})$ samples, which is additionally independent of $η$.

研究动机与目标

• 解决在粒子数固定为 $\eta$ 的费米子系统中估计 $k$-RDMs 时样本复杂度过高的问题，尤其是在 $n \gg \eta$ 的情况下。
• 利用粒子数对称性设计既保持粒子数又适用于经典阴影层析的测量基。
• 与以往基于量子比特或一般费米子阴影协议的方法相比，实现样本复杂度的超指数级降低。
• 提供一种计算高效的估计器，可同时以低方差估计所有 $\eta$-粒子 $k$-RDMs。
• 证明该方法在最坏情况的半满情形下依然高效，样本复杂度与 $n$ 无关。

提出的方法

• 从 $\eta$-粒子子空间上的哈尓测度中抽取随机单体幺正变换 $U_\eta(u)$，执行保持粒子数的测量。
• 基于旋转后的占据数态和一个修正算符 $E_{\eta,k}$（用于补偿与参考 Fock 基的重叠），构建 $k$-RDMs 的单次测量估计器。
• 通过外代数 $\wedge^\eta \mathcal{U}_n$ 上的哈尓积分推导逆测量通道，实现 $k$-RDMs 的无偏估计。
• 利用佩费尔米安式和楔积高效计算修正项，利用多项式时间可计算的佩费尔米安式。
• 应用佩费尔米安式的多项式插值与导数恒等式，以 $\mathcal{O}(\eta k)$ 时间高效计算所需的基元素 $B_{n,\eta,k,u'}(y,z)$。
• 通过将最终估计器表示为 $\mathcal{O}(\eta k)$ 项之和，每项均可在多项式时间内计算，确保计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用粒子数对称性，使费米子态层析的样本复杂度低于以往方法的 $\mathcal{O}(n^k)$ 量级？
• RQ2 是否可能在费米子系统中对 $k$-RDM 估计实现类似于量子比特情形的超指数级样本复杂度改进？
• RQ3 为同时估计所有保持粒子数的 $k$-RDMs 且方差为 $\epsilon^2$，所需的最少测量次数是多少？
• RQ4 能否仅使用保持粒子数的测量，构造出在 $\eta$-粒子子空间中对 $k$-RDMs 的高效经典估计器？
• RQ5 在最坏情况（如半满）下，样本复杂度如何变化？能否使其与 $n$ 无关？

主要发现

• 该方法在最多 $\binom{\eta}{k}\left(1 - \frac{\eta - k}{n}\right)^k \frac{1 + n}{1 + n - k} / \epsilon^2$ 次测量内，实现所有 $k$-RDMs 估计的平均方差为 $\epsilon^2$，当 $n \gg \eta$ 时，其复杂度为 $\mathcal{O}(\eta^k / \epsilon^2)$。
• 在最坏情况的半满情形（$\eta = n/2$）下，该方法相比以往方法仍实现了 $4^k$ 倍的样本复杂度降低。
• 该方法可同时估计所有 $\eta$-约化密度矩阵，并可使用最多 $\frac{4}{3} / \epsilon^2$ 次测量高效估计与所有单 Slater 衍生态的重叠，且该复杂度与 $\eta$ 无关。
• 该估计器计算高效，整个过程——包括佩费尔米安式计算和修正项评估——在 $n$、$\eta$ 和 $k$ 上均为多项式时间。
• 通过外代数 $\wedge^\eta \mathcal{U}_n$ 上的哈尓积分推导出逆测量通道，实现了从阴影中精确重构 $k$-RDMs。
• 该方法仅使用 $\mathcal{O}(\eta^k / \epsilon^2)$ 次测量，即实现了对所有保持粒子数的 $k$-RDMs 的层析完备性，相较于以往费米子阴影协议的 $\mathcal{O}(n^k / \epsilon^2)$ 复杂度，实现了超指数级改进。