[论文解读] Classification of (2+1)D invertible fermionic topological phases with symmetry

Maissam Barkeshli, Yu-An Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2021

Black Holes and Theoretical Physics被引用 11

一句话总结

本文通过两种互补方法——$G_b$-交叉辫子张量范畴与带有背景 gauge 场的$\mathrm{Spin}(2c_-)_1$陈-西蒙斯理论——对具有任意费米子对称群$G_f$和任意手征中央荷$c_-$的(2+1)D可逆费米子拓扑序进行了完整分类。关键成果是一个物理直观、计算可行的分类方案，该方案推广并拓展了先前关于费米子对称保护拓扑相与10重方式的研究，同时识别出非零$c_-$时的新异常与一致性约束。

ABSTRACT

We provide a classification of invertible topological phases of interacting fermions with symmetry in two spatial dimensions for general fermionic symmetry groups $G_f$ and general values of the chiral central charge $c_-$. Here $G_f$ is a central extension of a bosonic symmetry group $G_b$ by fermion parity, $(-1)^F$, specified by a second cohomology class $[ω_2] \in \mathcal{H}^2(G_b, \mathbb{Z}_2)$. Our approach proceeds by gauging fermion parity and classifying the resulting $G_b$ symmetry-enriched topological orders while keeping track of certain additional data and constraints. We perform this analysis through two perspectives, using $G$-crossed braided tensor categories and Spin$(2c_-)_1$ Chern-Simons theory coupled to a background $G$ gauge field. These results give a way to characterize and classify invertible fermionic topological phases in terms of a concrete set of data and consistency equations, which is more physically transparent and computationally simpler than the more abstract methods using cobordism theory and spectral sequences. Our results also generalize and provide a different approach to the recent classification of fermionic symmetry-protected topological phases by Wang and Gu, which have chiral central charge $c_- = 0$. We show how the 10-fold way classification of topological insulators and superconductors fits into our scheme, along with general non-perturbative constraints due to certain choices of $c_-$ and $G_f$. Mathematically, our results also suggest an explicit general parameterization of deformation classes of (2+1)D invertible topological quantum field theories with $G_f$ symmetry.

研究动机与目标

• 提供(2+1)D中具有任意费米子对称群$G_f$与手征中央荷$c_-$的可逆费米子拓扑序的完整、物理直观的分类。
• 将费米子对称保护拓扑相与10重方式的Wang-Gu分类推广至非零$c_-$与一般$G_f$的情形。
• 识别并表征异常（特别是奇$c_-$时的“半分”异常），这些异常会阻碍某些对称分数化模式的实现。
• 建立一个具体且可计算的数据集（包括$n_1, n_2, \nu_3, \{L_g\}$）及其一致性条件，用于此类相的分类。
• 证明该分类可同时从$G_b$-交叉辫子张量范畴与带有背景$G_b$ gauge 场的$\mathrm{Spin}(2c_-)_1$陈-西蒙斯理论推导得出。

提出的方法

• 通过规范化费米子数守恒，将$G_f$-对称理论转化为$G_b$-对称拓扑序，进而对所得的$G_b$-交叉辫子张量范畴（BTC）进行分类。
• 利用$G_b$-交叉BTC框架定义并追踪对称分数化、任意子通量标签$L_g$，以及一致性约束（如缺陷障碍条件$dn_2 = \omega_2 \cup_1 \omega_2$）。
• 采用与背景$G_b$ gauge 场耦合的$\mathrm{Spin}(2c_-)_1$陈-西蒙斯理论来描述费米子相的玻色子影子，其中$c_-$决定理论的等级。
• 通过$(n_1, n_2, \nu_3)$与通量标签$\{L_g\}$之间的映射，将$G_b$-交叉BTC数据与陈-西蒙斯不变量联系起来，并利用异常消除条件施加约束。
• 利用BTC与陈-西蒙斯方法推导$c_-$、$n_1$、$\omega_2$与$\nu_3$的堆叠规则，并识别在规范变换下的等价关系。
• 利用涉及施蒂费尔-惠特尼类与庞特里亚金类的数学恒等式，分析$\mathrm{Spin}(2c_-)_1$理论中的引力异常，特别是奇$c_-$的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有任意费米子对称群$G_f$与任意手征中央荷$c_-$的(2+1)D可逆费米子拓扑序的完整分类是什么？
• RQ2 异常（特别是奇$c_-$时的“半分”异常）如何产生并限制可能的对称分数化模式？
• RQ3 能否在$G_b$-交叉BTC与$\mathrm{Spin}(2c_-)_1$陈-西蒙斯理论之间建立一致映射，从而实现统一分类？
• RQ4 不变量$n_1$、$n_2$与$\nu_3$如何与规范理论中对称缺陷与通量的物理数据相关联？
• RQ5 这些相的堆叠规则与等价关系是什么？它们在$c_-$为偶数与奇数时有何不同？

主要发现

• 当$c_-$为奇数时，若$\omega_2$非平凡，则方程$dn_2 = \omega_2 \cup_1 \omega_2$无解，导致障碍出现，除非$n_1 \neq 0$，否则无法实现一致的对称分数化。
• 对于$G_f = SU(2)^f$且奇$c_-$的情形，所展示的“半分”异常可通过具有$c_- = -2$的引力陈-西蒙斯项来抵消，意味着在无边界贡献时，此类相必须具有偶$c_-$。
• 当$G_f = \mathbb{D}_8^f$且$c_-$为奇数时，仅当$n_1 \neq 0$时才存在一致解，表明非平凡的$n_1$可抵消来自$\omega_2$的$\mathcal{H}^3$障碍。
• 通过$G_b$-交叉BTC的分类方法提供了一个具体的数据集：$(n_1, n_2, \nu_3)$与$\{L_g\}$，其一致性条件在计算上比cobordism或谱序列方法更简单。
• $\mathrm{Spin}(2c_-)_1$陈-西蒙斯理论与背景$G_b$ gauge 场正确捕捉了费米子相的玻色子影子，其内在对称结构取决于$c_-$为半整数、偶数或奇数。
• 10重方式对拓扑绝缘体与超导体的分类作为特殊情形嵌入此框架中，对应于$c_- = 0$且$G_f = G_b \times \mathbb{Z}_2^f$的情形。