[论文解读] Classification of Asymptotic Behavior in A Stochastic SIR Model

N. T. Dieu, Dang Nguyen+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文分析了具有相关白噪声的退化随机SIR模型的渐近行为，建立了灭绝或持续的充分条件——非常接近必要条件。证明了遍历性，显示转移概率以多项式收敛速率收敛到不变测度，并精确刻画了不变分布的支集。

ABSTRACT

This paper investigates asymptotic behavior of a stochastic SIR epidemic model, which is a system with degenerate diffusion. It gives sufficient conditions that are very close to the necessary conditions for the permanence. In addition, this paper develops ergodicity of the underlying system. It is proved that the transition probabilities converge in total variation norm to the invariant measure. Our result gives a precise characterization of the support of the invariant measure. Rates of convergence are also ascertained. It is shown that the rate is not too far from exponential in that the convergence speed is of the form of a polynomial of any degree.

研究动机与目标

• 分类具有退化扩散和相关噪声的随机SIR模型的长期行为。
• 提供接近必要条件的灭绝或持续的充分条件，改进先前结果。
• 在持续性条件下，建立系统不变概率测度的存在性与唯一性。
• 证明转移概率在总变差范数下收敛到不变测度。
• 刻画不变测度的支集，并确定收敛速率。

提出的方法

• 构建一个使用单一共同布朗运动扰动所有组分的随机SIR模型，导致退化扩散。
• 应用李雅普诺夫型函数与随机分析技术，研究遍历性与渐近行为。
• 基于模型参数推导出临界阈值参数λ，以判断灭绝（λ < 0）或持续（λ > 0）。
• 利用福克-普朗克方程与不变测度理论，刻画平稳分布的支集。
• 建立转移概率在总变差范数下收敛到不变测度的结果。
• 证明收敛速率被任意多项式速率上界控制，表明其接近指数收敛速度。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有相关噪声的随机SIR模型在何种条件下表现出疾病的灭绝？
• RQ2 模型在何种条件下表现出持续性，即疾病在种群中持续存在？
• RQ3 在持续性条件下，不变概率测度的精确支集是什么？
• RQ4 转移概率以多快的速度收敛到不变测度？
• RQ5 收敛速率是否可被控制，其与指数速率相比如何？

主要发现

• 若λ < 0，则感染种群I(t)几乎必然趋于零，表明疾病灭绝。
• 若λ > 0，则系统存在唯一的不变概率测度φ*，其支集位于ℝ²⁺中，表明疾病持续存在。
• 解过程的转移概率在总变差范数下收敛到不变测度。
• 收敛速率被任意多项式速率上界控制，表明其并非远离指数收敛。
• 当λ > 0时，大数定律成立：可积函数的时间平均几乎必然收敛到φ*下的期望值。
• 当d* > 0时，不变测度的支集被显式刻画为{(S,I): S ≥ c*/I}；当d* = -∞时，支集为ℝ²⁺。