[论文解读] Classification of fractional quantum Hall states with spatial symmetries

Naren Manjunath, Maissam Barkeshli|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2020

Quantum and electron transport phenomena被引用 18

一句话总结

本文提出一个统一框架，利用G-交叉辫子张量范畴（G-crossed BTCs）对具有连续和晶格空间对称性的分数量子霍尔（FQH）态进行分类，包括U(1)电荷守恒、磁平移和旋转对称性。该框架推导出霍尔电导率、移位和任意子的分数量子数等拓扑不变量，并在不依赖伽利略不变性的对称性保护拓扑序形式下，建立电荷填充与霍尔电导率及每胞的通量之间的广义Lieb-Schulz-Mattis约束。

ABSTRACT

Fractional quantum Hall (FQH) states are examples of symmetry-enriched topological states (SETs): in addition to the intrinsic topological order, which is robust to symmetry breaking, they possess symmetry-protected topological invariants, such as fractional charge of anyons and fractional Hall conductivity. In this paper we develop a comprehensive theory of symmetry-protected topological invariants for FQH states with spatial symmetries, which applies to Abelian and non-Abelian topological states, by using a recently developed framework of $G$-crossed braided tensor categories ($G imes$BTCs) for SETs. We consider systems with $U(1)$ charge conservation, magnetic translational, and spatial rotational symmetries, in the continuum and for all $5$ orientation-preserving crystalline space groups in two dimensions, allowing arbitrary rational magnetic flux per unit cell, and assuming that symmetries do not permute anyons. In the crystalline setting, applicable to fractional Chern insulators and spin liquids, symmetry fractionalization is fully characterized by a generalization to non-Abelian states of the charge, spin, discrete torsion, and area vectors, which specify fractional charge, angular momentum, linear momentum, and fractionalization of the translation algebra for each anyon. The topological response theory contains $9$ terms, which attach charge, linear momentum, and angular momentum to magnetic flux, lattice dislocations, disclinations, corners, and units of area. Using the $G imes$BTC formalism, we derive the formula relating charge filling to the Hall conductivity and flux per unit cell; in the continuum this relates the filling fraction and the Hall conductivity without assuming Galilean invariance. We provide systematic formulas for topological invariants within the $G imes$BTC framework; this gives, for example, a new categorical definition of the Hall conductivity.

研究动机与目标

• 开发一个超越标准拓扑序框架的、对具有空间对称性（包括连续和晶格对称性）的分数量子霍尔（FQH）态进行全面分类的框架。
• 识别并表征在U(1)电荷守恒和空间对称性下，FQH态中任意子的对称性保护拓扑不变量（如分数电荷、角动量和动量分数化）。
• 利用G-交叉BTCs推导出一个广义的Lieb-Schulz-Mattis定理，将电荷填充与每胞的霍尔电导率和通量联系起来，且不依赖伽利略不变性。
• 将分类扩展至阿贝尔与非阿贝尔FQH态及分数量子霍尔绝缘体，包括位错和位错环等缺陷的响应不变量。
• 系统求解所有保向2D空间群及其磁性推广的G-交叉BTC方程，实现完整的拓扑表征。

提出的方法

• 利用G-交叉辫子张量范畴（G-crossed BTC）框架描述具有全局对称性和规范对称性的对称性丰富拓扑（SET）相。
• 从G-交叉BTC的任意子数据中推导出对称性分数化不变量，包括分数电荷、角动量和动量分数化。
• 构建磁通、位错、位错环和角缺陷等缺陷的有效响应理论，表征电荷、动量和角动量的拓扑保护耦合。
• 应用Lyndon-Hochschild-Serre谱序列计算群上同调不变量，用于SET相和SPT态的分类。
• 通过G-交叉BTC形式化推导广义填充约束，将电荷填充与霍尔电导率及每胞通量联系起来，且不假设伽利略不变性。
• 系统求解所有5个保向2D空间群及其磁性推广的G-交叉BTC方程，涵盖离散旋转与平移对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有连续和晶格空间对称性的FQH态中，系统地分类对称性保护的拓扑不变量？
• RQ2 除了霍尔电导率和移位之外，哪些完整的拓扑不变量集合可以表征具有U(1)和空间对称性的FQH态？
• RQ3 如何仅从G-交叉BTC数据推导出填充分数、霍尔电导率和每胞通量之间的关系，而不依赖伽利略不变性？
• RQ4 在晶格FQH态中，离散挠率和动量分数化的作用是什么？它们如何推广至非阿贝尔任意子？
• RQ5 位错和位错环等缺陷响应如何贡献于FQH系统中分数化量化响应理论？

主要发现

• 本文仅利用G-交叉BTC数据推导出广义的Lieb-Schulz-Mattis约束，将电荷填充与霍尔电导率及每胞通量联系起来，且不假设伽利略不变性。
• 对于晶格FQH态，任意子的对称性分数化完全由广义电荷、自旋、离散挠率和面积矢量表征，其中后两者在连续极限下不存在。
• 分数化量化响应理论包含九个不同的不变量，包括量化扭转响应以及电荷、角动量和线性动量的填充分数。
• 在G-交叉BTC框架内，霍尔电导率被重新定义为一种独立于连续极限或对称性假设的任意子数据导出的拓扑不变量。
• 本文系统求解了所有5个保向2D空间群及其磁性推广的G-交叉BTC方程，实现了对这类SET相的完整分类。
• 作为分析的副产品，推导出一种新的(2+1)D具有U(1)电荷守恒和磁场的对称性保护拓扑（SPT）态分类。