[论文解读] Classification of Generalized Symmetries for the Vacuum Einstein Equations

Ian Anderson, Charles G Torre|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 1994

Advanced Differential Geometry Research被引用 31

一句话总结

该论文利用旋量喷射坐标并系统性地约化至一阶对称性，对四维时空中的真空爱因斯坦方程的所有广义对称性进行了分类。结果证明，唯一的广义对称性仅为无穷小广义微分同胚和常数度规缩放，且不会由此产生非平凡的守恒律。

ABSTRACT

A generalized symmetry of a system of differential equations is an infinitesimal transformation depending locally upon the fields and their derivatives which carries solutions to solutions. We classify all generalized symmetries of the vacuum Einstein equations in four spacetime dimensions. To begin, we analyze symmetries that can be built from the metric, curvature, and covariant derivatives of the curvature to any order; these are called natural symmetries and are globally defined on any spacetime manifold. We next classify first-order generalized symmetries, that is, symmetries that depend on the metric and its first derivatives. Finally, using results from the classification of natural symmetries, we reduce the classification of all higher-order generalized symmetries to the first-order case. In each case we find that the generalized symmetries are infinitesimal generalized diffeomorphisms and constant metric scalings. There are no non-trivial conservation laws associated with these symmetries. A novel feature of our analysis is the use of a fundamental set of spinorial coordinates on the infinite jet space of Ricci-flat metrics, which are derived from Penrose's ``exact set of fields'' for the vacuum equations.

研究动机与目标

• 系统分类四维时空中真空爱因斯坦方程的所有任意阶广义对称性。
• 解决广义相对论中关于隐藏广义对称性是否存在这一长期悬而未决的问题。
• 确定此类对称性是否可能导出局部守恒律或解生成技术。
• 确立真空爱因斯坦方程的广义对称性不会产生非平凡守恒律。

提出的方法

• 在爱因斯坦为空间度规的无限喷射空间上使用一组基本的旋量坐标，这些坐标源自彭罗斯为真空引力提出的“场的精确集合”。
• 在任意时空流形上对自然对称性（即由度规、曲率及曲率的协变导数构成的任意阶对称性）进行分类。
• 通过基于喷射阶数的归纳论证，将高阶广义对称性的分类约化至一阶情形。
• 利用旋量变量中的协变常数条件，消除对称性的非平凡分量，表明其仅在为微分同胚或缩放时才不为零。
• 应用旋量形式下的线性化爱因斯坦方程，推导出对称性分量的约束，特别是涉及 $ abla ilde{ abla}$-导数和曲率分量的约束。
• 证明所有高阶对称性模广义微分同胚，等价于仅依赖于 $x$、$ ilde{ abla}$、$ ilde{ abla} ilde{ abla}$ 和旋量场的一阶对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在四维时空中，真空爱因斯坦方程是否存在除微分同胚和缩放之外的非平凡广义对称性？
• RQ2 真空爱因斯坦方程的广义对称性是否可能产生引力场的局部守恒律？
• RQ3 正如自对偶情形等可积约化所暗示的那样，完整的真空爱因斯坦方程中是否存在隐藏对称性？
• RQ4 广义对称性的分类是否可约化为一阶对称性？若是，其形式受何种约束？
• RQ5 旋量喷射坐标在简化引力中广义对称性分析方面发挥何种作用？

主要发现

• 四维时空中真空爱因斯坦方程的所有广义对称性，模爱因斯坦方程，等价于无穷小广义微分同胚和常数度规缩放。
• 所承认的唯一对称性形式为 $ h_{ab} = c g_{ab} + abla_a X_b + abla_b X_a $，其中 $ c $ 为常数，$ X^a $ 为广义向量场。
• 这些对称性不会产生非平凡守恒律，这一点由所有高阶对称性分量（除微分同胚和缩放项外）的消失所证实。
• 通过基于喷射阶数和旋量坐标中协变常数性的归纳论证，高阶对称性的分类完全约化至一阶情形。
• 依赖于旋量场 $ ilde{ abla}^k $ 和 $ ilde{ abla}^k $ 的对称性分量仅在属于微分同胚或缩放结构时才不为零，这一点由对 $ A, B, D, E $ 的微分约束所证明。
• 该分析排除了隐藏广义对称性的存在，包括此前古尔塞斯提出的那些对称性，后者被证明不满足对称性条件。