[论文解读] Classification of irreducible Harish-Chandra modules over the loop-Virasoro algebra

Xiangqian Guo, Rencai Lü+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 10

一句话总结

该论文对环-Virasoro代数上的不可约哈里什-钱德拉模进行了分类，表明它们是最高权模、最低权模或中间系列模（所有权空间一维）。利用马蒂厄定理和雅可布森根理论，建立了最高权模不可约性及有限维权空间的充要条件。

ABSTRACT

The loop-Virasoro algebra is the Lie algebra of the tensor product of the Virasoro algebra and the Laurent polynomial algebra. This paper classifies irreducible Harish-Chandra modules over the loop-Virasoro algebra, which turn out to be highest weight modules, lowest weight modules and evaluation modules of the intermediate series (all wight spaces are 1-dimensional). As a by-product, we obtain a classification of irreducible Harish-Chandra modules over truncated Virasoro algebras. We also determine the necessary and sufficient conditions for highest weigh irreducible modules over the loop-Virasoro algebra to have all finite dimensional weight spaces, as well as the necessary and sufficient conditions for highest weigh Verma modules to be irreducible.

研究动机与目标

• 对由Virasoro代数与洛朗多项式代数的张量积构成的环-Virasoro代数上的所有不可约哈里什-钱德拉模进行分类。
• 作为副产品，将不可约哈里什-钱德拉模的分类推广至截断的Virasoro代数和代数 $W(2,2)$。
• 确定环-Virasoro代数上最高权模具有有限维权空间的充要条件。
• 建立环-Virasoro代数上最高权Verma模不可约的条件。

提出的方法

• 利用马蒂厄定理将不可约哈里什-钱德拉模分为三类：最高权模、最低权模和一致有界模。
• 在有限维结合代数上应用雅可布森根理论，证明一致有界模必为中间系列模（所有权空间一维）。
• 采用三角分解 $\mathcal{L} = \mathcal{L}_- \oplus \mathcal{L}_0 \oplus \mathcal{L}_+$，通过线性泛函 $\varphi: \mathcal{L}_0 \to \mathbb{C}$ 定义Verma模 $\bar{V}(\varphi)$ 和不可约最高权模 $V(\varphi)$。
• 分析权空间一维的权模，并证明其为中间系列的赋值模。
• 利用指数-多项式函数刻画使得 $V(\varphi)$ 成为哈里什-钱德拉模的泛函 $\varphi$，从而导出关于不可约性与可约性条件的定理6.6。

实验结果

研究问题

• RQ1 环-Virasoro代数上的不可约哈里什-钱德拉模是什么？
• RQ2 在何种条件下，环-Virasoro代数上的最高权模是具有有限维权空间的哈里什-钱德拉模？
• RQ3 何时环-Virasoro代数上的最高权Verma模是不可约的？
• RQ4 分类结果如何推广至截断的Virasoro代数和 $W(2,2)$？
• RQ5 如何刻画环-Virasoro代数上权空间一维的权模？

主要发现

• 环-Virasoro代数上的不可约哈里什-钱德拉模恰好是最高权模、最低权模和中间系列模。
• 中间系列模的所有权空间均为一维，且此类模被证明为中间系列的赋值模。
• 最高权模 $V(\varphi)$ 是哈里什-钱德拉模当且仅当 $\varphi(d_0 \otimes t^k)$ 和 $\varphi(c \otimes t^k)$ 是关于 $k$ 的指数-多项式函数。
• Verma模 $\bar{V}(\varphi)$ 可约当且仅当 $\varphi(d_0 \otimes t^k)$ 是关于 $k$ 的指数-多项式函数。
• 截断Virasoro代数上不可约哈里什-钱德拉模的分类作为副产品获得。
• 构造了一个例子，表明存在环-Virasoro代数上的广义赋值模，其不是赋值模，但却是截断代数 $\mathrm{Vir} \otimes \mathbb{C}[t]/(t+1)^2\mathbb{C}[t]$ 上的不可约Verma模。