[论文解读] Classification of simple strong Harish-Chandra $W(m,n)$-modules

Yuly Billig, Vyacheslav Futorny+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文对李超代数 $W(m,n)$ 的所有简单强哈里什-钱德拉模进行了分类，证明其要么是张量模的商模（强余 cuspidal），要么是通过广义 Verma 模诱导的最高权型模。该分类依赖于构造由有限维 $gl(m,n)$-模参数化的张量模，并证明所有简单强余 cuspidal 模均作为这些模的商模出现；而最高权模则通过从 $W(m-1,n)$-张量模诱导的广义 Verma 模实现。

ABSTRACT

We classify all simple strong Harish-Chandra modules for the Lie superalgebra $W(m,n)$. We show that every such module is either strongly cuspidal or a module of the highest weight type. We construct tensor modules for $W(m,n)$, which are parametrized by simple finite-dimensional $gl(m,n)$-modules and show that every simple strongly cuspidal $W(m,n)$-module is a quotient of a tensor module. Finally, we realize modules of the highest weight type as simple quotients of the generalized Verma modules induced from tensor modules for $W(m-1,n)$.

研究动机与目标

• 对李超代数 $W(m,n)$ 的所有简单强哈里什-钱德拉模进行分类。
• 理解强余 cuspidal 模的结构，并将其作为 $W(m,n)$-张量模的商模实现。
• 将最高权型模实现为从 $W(m-1,n)$-张量模诱导的广义 Verma 模的商模。
• 建立简单强哈里什-钱德拉模范畴的完全分解，分为两类：强余 cuspidal 型与最高权型。

提出的方法

• 为 $W(m,n)$ 构造张量模 $T(V,\lambda) = \mathcal{A} \otimes V$，其中 $V$ 是有限维单 $gl(m,n)$-模，$\lambda \in \mathbb{C}^m$，并给出涉及微分算子 $d_j$、$\partial_\alpha$ 与右微分算子 ${}^*\partial_\alpha$ 的显式作用公式。
• 使用 ${\mathcal{AV}}$-覆盖构造法分析权重重数，并证明强余 cuspidal ${\mathcal{AV}}$-模即为张量模。
• 通过 $\mathrm{ad}(d_0)$ 在 $W(m+1,n)$ 上定义 ${\mathbb{Z}}$-分次，得到三角分解 $\mathcal{V} = \mathcal{V}_- \oplus \mathcal{V}_0 \oplus \mathcal{V}_+$，其中 $\mathcal{V}_0 = W(m,n) \ltimes \mathcal{A}d_0$。
• 对 $T$ 为 $\mathcal{V}_0$-强余 cuspidal 模的情形，诱导广义 Verma 模 $M(T) = \mathrm{Ind}_{\mathcal{V}_0 \oplus \mathcal{V}_+}^{\mathcal{V}} T \cong U(\mathcal{V}_-) \otimes T$。
• 将 $M^{\mathrm{rad}}$ 定义为与 $T$ 平凡相交的最大子模，并令 $L(T) = M(T)/M^{\mathrm{rad}}$，从而得到一个简单最高权型模。
• 应用 $\theta \in \mathrm{GL}_{m+1}(\mathbb{Z})$ 的自同构对 $L(T)$ 进行扭变，证明所有最高权型模均可通过此方式得到。

实验结果

研究问题

• RQ1 $W(m,n)$ 的所有简单强哈里什-钱德拉模的完整分类是什么？
• RQ2 强余 cuspidal 模如何通过 $W(m,n)$-张量模实现？
• RQ3 是否能通过子代数诱导与广义 Verma 模构造最高权型模？
• RQ4 ${\mathcal{AV}}$-覆盖与多项式分次在证明权重重数有界性中起什么作用？
• RQ5 这些模的支集与权结构如何与底层 $gl(m,n)$-模参数相关联？

主要发现

• 每个简单强哈里什-钱德拉 $W(m+1,n)$-模要么是某个有限维单 $gl(m+1,n)$-模 $V$ 与 $\lambda \in \mathbb{C}^{m+1}$ 参数化的张量模 $T(V,\lambda)$ 的商模，要么是最高权型模。
• 所有简单强余 cuspidal $W(m,n)$-模均为张量模 $T(V,\lambda)$ 的商模，这些模由有限维单 $gl(m,n)$-模参数化。
• 最高权型模作为从 $W(m,n)\ltimes\mathcal{A}d_0$-张量模诱导的广义 Verma 模的简单商模 $L(T)$ 实现。
• ${\mathcal{AV}}$-覆盖的简单强余 cuspidal 模本身是强余 cuspidal 且多项式分次的，从而保证了权重重数的统一有界性。
• 对于 $W(m+1,n)$，广义 Verma 模 $M(T)$ 当 $m > 0$ 时不是哈里什-钱德拉模，但其商模 $L(T)$ 是强哈里什-钱德拉模。
• 该分类是完备的：每个简单强哈里什-钱德拉 $W(m+1,n)$-模同构于某个最高权型模 $L(T)^\theta$ 的扭变模，或某个张量模的商模。