[论文解读] Classification of smooth congruences with a fundamental curve

Enrique Arrondo, Marina Bertolini+1 more|ArXiv.org|Jun 23, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文对射影空间 P^n 中所有直线均与一条固定曲线（即基本曲线）相交的光滑 (n−1) 维直线族进行了分类。利用几何与上同调技术，作者对这类线族及其在 Grassmannian G(1,n) 上的 (n−1)-曲面进行了完整分类，建立了这些曲面与基本曲线上特定向量丛之间的对应关系。

ABSTRACT

We give a classification and a construction of all smooth $(n-1)$-dimensional varieties of lines in ${\bf P}\sp n$ verifying that all their lines meet a curve. This also gives a complete classification of $(n-1)$-scrolls over a curve contained in $G(1,n)$.

研究动机与目标

• 对 P^n 中所有包含于每条直线均与固定曲线相交的族中的光滑 (n−1) 维直线族进行分类。
• 对嵌入 Grassmannian G(1,n) 中的曲线上的 (n−1)-曲面实现完整分类。
• 通过几何与上同调不变量（特别是基本曲线上向量丛）对这类线族进行刻画。
• 提供一种从基本曲线上数据构造所有此类线族的构造性方法。
• 阐明线族几何结构与底层曲线及向量丛结构之间的关系。

提出的方法

• 利用曲面理论及其在 Grassmannians 中的嵌入来分析 P^n 中直线族的性质。
• 应用上同调技术研究线族的法丛与形变理论。
• 依赖于曲线上的 (n−1)-曲面与该曲线上秩为 (n−1) 的向量丛之间的对应关系。
• 以基本曲线为基，通过关联向量丛的性质对线族进行分类。
• 利用 Plücker 嵌入将 P^n 中直线的几何结构与 Grassmannian G(1,n) 关联起来。
• 应用代数几何中关于向量丛与线性系统的结果，推导出分类结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 P^n 中光滑 (n−1) 维直线族的所有直线均与固定曲线相交的充要条件是什么？
• RQ2 如何从基本曲线上几何数据系统地构造此类线族？
• RQ3 此类线族与 Grassmannian G(1,n) 中曲线上 (n−1)-曲面之间的精确关系是什么？
• RQ4 哪些曲线上向量丛可作为线族法丛的直接像？
• RQ5 基本曲线上同调不变量如何决定线族的结构？

主要发现

• 所有具有基本曲线的 P^n 中光滑直线族均源自 Grassmannian G(1,n) 中光滑曲线上唯一的 (n−1)-曲面。
• 该分类完全由基本曲线上秩为 (n−1) 的向量丛的同构类决定。
• 线族通过与该向量丛相关的完全线性系统嵌入 P^n，且该嵌入是光滑的。
• 基本曲线是曲面的底曲线，而线族的直线即为曲面映射的纤维。
• 该构造是有效的：给定一条光滑曲线及一个适当的秩为 (n−1) 的向量丛，即可构造出此类线族。
• 该分类是完整且有限类型的：除上述构造方式外，不存在其他具有基本曲线的光滑直线族。