[论文解读] Classification of supersymmetries

Victor G. Kač|ArXiv.org|Dec 1, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 48被引用 28

一句话总结

本文对简单的线性紧致李超代数进行分类，将仿射超代数和Virasoro代数的超扩展确定为线性紧致超共形代数的完整列表，并提出例外李超代数 $E(3|6)$ 编码了标准模型的规范群和粒子内容，预测存在三代轻子以及夸克的复结构。

ABSTRACT

In the first part of my talk I will explain a solution to the extension of Lie's problem on classification of "local continuous transformation groups of a finite-dimensional manifold" to the case of supermanifolds. (More precisely, the problem is to classify simple linearly compact Lie superalgebras, i.e. toplogical Lie superalgebras whose underlying space is a topological product of finite-dimensional vector spaces). In the second part I will explain how this result is used in a classification of superconformal algebras. The list consists of affine superalgebras and certain super extensions of the Virasoro algebra. In the third part I will discuss representation theory of affine superalgebras and its relation to "almost" modular forms. Furthermore, I will explain how the quantum reduction of these representations leads to a unified representation theory of super extensions of the Virasoro algebra. In the forth part I will discuss representation theory of exceptional simple infinite-dimensional linearly compact Lie superalgebras and will speculate on its relation to the Standard Model.

研究动机与目标

• 对简单线性紧致李超代数进行分类，将李的经典问题推广至超代数情形。
• 对线性紧致超共形代数进行分类，将仿射超代数和Virasoro代数的超扩展确定为完整列表。
• 通过仿射超代数表示的量子约化，发展超共形代数的统一表示理论。
• 探讨例外无限维线性紧致李超代数（特别是 $E(3|6)$）在标准模型中的物理意义。
• 研究 $E(3|6)$ 的表示理论是否能解释粒子物理学中费米子世代数和规范对称性结构。

提出的方法

• 使用超代数技术，包括超化和分次导子，对简单线性紧致李超代数进行分类。
• 通过形式同构和结构理论，将无限维单李代数的分类应用于超共形代数。
• 采用与雅可比函数相关的仿射超代数的可接受表示，推广模形式。
• 对仿射超代数的可接受表示进行量子约化，以构造非线性Virasoro代数超扩展的表示。
• 分析 $E(3|6)$ 中的子代数 ${\mathfrak{a}}_0$，以确定其与标准模型规范群的复化李代数 $SU_3 \times SU_2 \times U_1$ 模一个6阶循环群的同构性。
• 在 $t$-序列分析中使用一致的分次和诱导模，以确定粒子多重态的稳定性与世代计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 简单线性紧致李超代数的完整分类是什么？
• RQ2 哪些超共形代数是线性紧致的？它们与仿射超代数和Virasoro代数有何关系？
• RQ3 通过仿射超代数表示的量子约化，能否统一超共形代数的表示理论？
• RQ4 例外李超代数 $E(3|6)$ 是否编码了标准模型的规范群和粒子内容？
• RQ5 为何 $E(3|6)$ 的表示理论恰好预测三代表轻子和夸克的混合结构？

主要发现

• 线性紧致超共形代数的完整列表由仿射超代数以及若干系列和一个例外情况的Virasoro代数超扩展组成。
• 对仿射超代数可接受表示的量子约化，可导出非线性Virasoro代数超扩展的统一表示理论。
• $E(3|6)$ 的子代数 ${\mathfrak{a}}_0$ 同构于标准模型规范群 $SU_3 \times SU_2 \times U_1$ 的复化李代数模一个6阶循环群。
• $E(3|6)$ 的表示理论恰好预测三代表轻子，与观测结果一致。
• 该模型预测存在完整的第四代和不完整的第五代夸克，其中缺失了底夸克三重态。
• $E(3|6)$ 包含标准模型规范群于 $SU_5$ 的扩展，可进一步嵌入更大的例外超代数 $E(5|10)$，提示存在更深层次的统一框架。