[论文解读] Clifford Algebras, Supersymmetry and $Z_n-$symmetries: Applications in Field Theory

Michel Rausch de Traubenberg|ArXiv.org|Feb 20, 1998

Advanced NMR Techniques and Applications参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文提出了一种基于 Clifford 代数和 $Z_n$-对称性的广义超对称框架，导出了阶数为 $F$ 的分数阶超对称（FSUSY）。通过广义 Grassmann 代数构造 $q$-形变 Heisenberg 代数，推导出一种非线性闭合对称性，该对称性扩展了标准超对称性，并适用于一维世界线、二维共形场论以及 $1+2$ 维时空中的任意子（anyons）。

ABSTRACT

After a short introduction on Clifford algebras of polynomials, we give a general method of constructing a matrix representation. This process of linearization leads naturally to two fundamental structures: the generalized Clifford algebra (GCA) and the generalized Grassmann algebra (GGA) which are studied. Then, it is proved that if we equip the GGA with a differential structure, we obtain the $q-$deformed Heisenberg algebra or the $q-$oscillators. Finally, it is shown that the $q-$deformed Heisenberg algebra is the basic tool to define an adapted superspace leading to the extension of supersymmetry called fractional supersymmetry of order $F$ (FSUSY), $F=2$ corresponding to the usual supersymmetry. Local FSUSY in one dimension is then contructed in the world-line formalism, and an extension of the Dirac equation is obtained. In two dimensions, it turns out that FSUSY is a conformal field theory and in addition to the stress energy tensor, a supercurrent of conformal weight $1+1/F$, which generates a symmetry between the primary fields of conformal weight $(0,1, \cdots, 1-1/F$), is obtained. The algebra is explicitly constructed. We also show that in $1+2$ dimensions FSUSY is a non-trivial extension of the Poincaré algebra which generates a symmetry among fractional spin states or anyons. Unitarity of the representation is checked. Finally, we prove that, independently of the dimension, a natural classification emerges according to the decomposition of $F$ as a product of prime numbers and that FSUSY is a symmetry which closes non-linearly, and is sustained by mathematical structures that go beyond Lie or super-Lie algebras.

研究动机与目标

• 通过引入基于 $Z_n$-对称性和 Clifford 代数的新一类对称性，推广标准超对称性。
• 利用广义 Clifford 代数和 Grassmann 代数构建数学框架，以描述 $q$-形变振子。
• 构建阶数为 $F$ 的一致分数阶超对称（FSUSY），其中 $F=2$ 时恢复标准超对称性。
• 将 FSUSY 应用于一维世界线模型和二维共形场论。
• 将 FSUSY 扩展至 $1+2$ 维，表明其在分数自旋态（任意子）上闭合并具有幺正表示。

提出的方法

• 通过线性化构造多项式 Clifford 代数的矩阵表示，导出广义 Clifford 代数（GCA）和广义 Grassmann 代数（GGA）。
• 为 GGA 配备微分结构，以推导出 $q$-形变 Heisenberg 代数，该代数控制 $q$-振子。
• 以 $q$-振子代数为基础，定义阶数为 $F$ 的分数阶超对称（FSUSY）的扩展超空间。
• 应用世界线形式化方法，在一维空间构造局部 FSUSY，导出广义 Dirac 方程。
• 将二维情形分析为共形场论，识别出共形权为 $1 + 1/F$ 的超流，其作用于共形权为 $0, 1, \dots, 1 - 1/F$ 的初级场。
• 将构造扩展至 $1+2$ 维，表明 FSUSY 非线性闭合并作用于任意子，其幺正表示已验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $Z_n$-对称性和 Clifford 代数推广标准超对称性？
• RQ2 从广义 Grassmann 代数导出的 $q$-形变 Heisenberg 代数背后的代数结构是什么？
• RQ3 阶数为 $F$ 的分数阶超对称能否在一维世界线模型中一致实现？
• RQ4 在具有 FSUSY 的二维共形场论中，共形权为 $1 + 1/F$ 的超流起什么作用？
• RQ5 FSUSY 如何扩展 $1+2$ 维中的 Poincaré 代数，其幺正表示是否一致？

主要发现

• 从广义 Grassmann 代数的微分结构中自然导出 $q$-形变 Heisenberg 代数，为 FSUSY 提供代数基础。
• 阶数为 $F$ 的分数阶超对称被构造为标准超对称的非线性闭合扩展，其中 $F=2$ 时恢复通常的超对称性。
• 在二维情形下，FSUSY 是一种共形场论，具有共形权为 $1 + 1/F$ 的超流，作用于共形权为 $0, 1, \dots, 1 - 1/F$ 的初级场。
• 在 $1+2$ 维中，FSUSY 是 Poincaré 代数的非平凡扩展，作用于分数自旋态（任意子），其幺正表示已确认。
• 从 $F$ 的质因数分解中自然涌现出 FSUSY 的分类，表明其背后存在超越李代数或超李代数的深层数学结构。
• 该框架在各维度中保持一致，揭示了 FSUSY 由 $q$-形变和 $Z_n$-对称性所根植的广义代数结构所维持。