[论文解读] Clifford systems in octonionic geometry

Maurizio Parton, Paolo Piccinni+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2015

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文提出了一种在欧几里得向量空间上构造不可约克利福德系的归纳方法，将理论扩展至八元数几何和黎曼流形。它建立了秩至16的克利福德系的存在性与分类，确定了其在对称空间EIII、EVI和EVIII中的作用，并通过偶克利福德结构与自旋群，将其与挠率结构和不变微分形式联系起来。

ABSTRACT

We give an inductive construction for irreducible Clifford systems on Euclidean vector spaces. We then discuss how this notion can be adapted to Riemannian manifolds, and outline some developments in octonionic geometry.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的归纳方法，用于在欧几里得向量空间上构造不可约克利福德系。
• 将克利福德系的概念扩展至黎曼流形，特别关注具有例外挠率的对称空间。
• 探讨克利福德系在八元数几何中的作用，尤其是与例外李群F4、E6、E7和E8的关系。
• 对对称空间如EIII、EVI和EVIII上的偶克利福德结构进行分类，并将其与不变微分形式和上同调联系起来。
• 将理论与几何结构（如凯勒形式、四元数凯勒结构以及球面及其商上的Spin(9)作用）联系起来。

提出的方法

• 利用克利福德代数的表示理论，表征存在不可约克利福德系的维度N = 2δ(m)。
• 通过张量积和正交分解，从低秩系统归纳构造新的克利福德系。
• 通过SO(N)中的对合定义对称空间上的偶克利福德结构，并将其与挠率群如Spin(9)、Spin(10)·U(1)和Spin(16)+联系起来。
• 利用由克利福德生成元导出的反对称矩阵上的不变多项式，生成全局微分形式。
• 将该构造应用于对称空间EIII、EVI和EVIII，识别其偶克利福德结构及相关的凯勒形式。
• 通过Spin(9)结构与Hurwitz-Radon公式，将结果与球面上的切向量场系联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地归纳构造欧几里得空间上的不可约克利福德系？
• RQ2 克利福德系至秩16的分类是什么？它们与Hurwitz-Radon函数中δ(m)的维度有何关系？
• RQ3 对称空间如EIII、EVI和EVIII上的偶克利福德结构如何由正交群中的对合产生？
• RQ4 偶克利福德结构的生成元在生成不变微分形式与上同调类中起什么作用？
• RQ5 这些结构如何与球面及其商的几何相关联，特别是在极大正交切向量场的背景下？

主要发现

• 不可约克利福德系存在于R^N当且仅当N = 2δ(m)，其中δ(m)由Hurwitz-Radon函数给出，且当m不被4整除时，该系统在等价意义下唯一。
• 当m ≡ 0 mod 4时，存在两类不可约克利福德系，由乘积P0P1…Pm的迹为±2δ(m)所区分。
• 对称空间EIII具有一个本质的秩为9的偶克利福德结构，通过SO(16)中10维对合系统实现。
• 对称空间EVI和EVIII分别具有秩为10和16的偶克利福德结构，其关联的凯勒形式ψ^E和ψ^F由生成元导出。
• EVI的有理上同调由度数为4、8和12的类生成，可由τ4(ψ^E)和τ6(ψ^E)表示；而EVIII的上同调由度数为8、12、16和20的类生成。
• 在球面S^31、S^63和S^127上构造极大正交切向量场，分别对应于R^32、R^64和R^128上的秩为10、12和16的偶克利福德结构，分别通过Spin(9)、Spin(10)·U(1)和Spin(16)+结构实现。