[论文解读] Clifford theory for Yokonuma--Hecke algebras and deformation of complex reflection groups

Nicolas Jacon, Loïc Poulain d’Andecy|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 11

一句话总结

本论文通过对称群作用，从Yokonuma–Hecke代数导出两类新代数：一类同构于辫子与绳结代数（BTₙ），另一类则为复反射群类型G(d, p, n)的新变形。作者利用Clifford理论，在半单与模形式情形下，对不可约表示进行了完全参数化，提供了这些代数的观念性框架与新表示形式，包括显式同构与结构结果，特别在d = p = 2时，为Dₙ Weyl群的变形给出了新表示形式。

ABSTRACT

We define and study an action of the symmetric group on the Yokonuma--Hecke algebra. This leads to the definition of two classes of algebras. The first one is connected with the image of the algebra of the braid group inside the Yokonuma--Hecke algebras, and in turn with an algebra defined by Aicardi and Juyumaya known as the algebra of braids and ties. The second one can be seen as new deformations of complex reflection groups of type G(d,p,n). We provide several presentations for both algebras and a complete study of their representation theories using Clifford theory.

研究动机与目标

• 定义并研究两类新代数，其作为对称群作用下Yokonuma–Hecke代数的不动点子代数。
• 利用Clifford理论，为这些代数建立概念性与系统性的表示理论。
• 证明辫子与绳结代数BTₙ同构于当d ≥ n时Yokonuma–Hecke代数Yd,n在Sₚ作用下的不动点子代数。
• 通过Z/pZ作用于Yd,n，构造复反射群类型G(d, p, n)的群代数的新变形。
• 为新变形代数提供显式表示与基，包括在d = p = 2时Dₙ情形的简洁表示。

提出的方法

• 通过置换t-算子，定义对称群Sd在Yokonuma–Hecke代数Yd,n上的自同态作用。
• 构造第一类代数为Sd作用下所有不动点的子代数，证明其同构于Yd,n中辫子群的像。
• 构造第二类代数为Sd中Z/pZ子群作用下的不动点子代数，其中p整除d。
• 利用Clifford理论，将Yd,n的表示理论提升至不动点子代数，借助已知的Yd,n-模参数化结果。
• 提供不动点代数的多种表示形式，包括作为类型G(d, p, n)辫子群的商代数，带有显式关系。
• 通过显式映射在生成元之间验证同构，检查关系在两个方向上是否保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 辫子与绳结代数BTₙ是否同构于Yokonuma–Hecke代数Yd,n在Sd作用下的不动点子代数？
• RQ2 Yokonuma–Hecke代数能否用于构造复反射群类型G(d, p, n)的新变形？
• RQ3 如何利用Clifford理论系统地研究不动点子代数的表示理论？
• RQ4 新变形代数的显式表示与基是什么，特别是Dₙ情形？
• RQ5 新变形代数是否同构于标准的G(d, p, n)型环形Hecke代数？
• RQ6 这些新代数在半单与模情形下的不可约模的参数化是什么？

主要发现

• 辫子与绳结代数BTₙ同构于Yd,n在Sd作用下的不动点子代数，当d ≥ n时，为此同构关系提供了新的概念性证明。
• Z/pZ作用于Yd,n的不动点子代数是复反射群G(d, p, n)群代数的新变形，推广了已知的子群嵌入。
• 利用Clifford理论，对不动点子代数的表示理论进行了完全参数化，不可约模由d/p-分拆在循环移位作用下的轨道索引。
• 对于代数Y^Z/pZ_d,n，不可约模V^λ_Si的维数为y(λ, e) × s(λ)/p，其中s(λ)为循环移位在d/p-分拆上的周期。
• 新变形代数不与标准的G(d, p, n)型环形Hecke代数同构，通过比较特殊化后的参数化结果得以证明。
• 当d = p = 2时，给出了Dₙ Weyl群代数变形的简洁显式表示，其作为类型G(2, 2, n)辫子群的商代数获得。